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1. 如图，一个瓶子的容积是 2 L(1 L = 1000 cm³)，瓶内装着一些水。当瓶子正放时，瓶内的水高度为 20 cm，倒放时，空余部分的高度为 5 cm，则瓶子的底面积为(
A.50 cm²
B.80 cm²
C.100 cm²
D.200 cm²
B
)。A.50 cm²
B.80 cm²
C.100 cm²
D.200 cm²
答案
1. B
解析
解：瓶子容积 $ V = 2\ \mathrm{L} = 2000\ \mathrm{cm}^3 $。
设瓶子底面积为 $ S\ \mathrm{cm}^2 $。
正放时水体积：$ V_{\mathrm{水}} = 20S $。
倒放时空余部分体积：$ V_{\mathrm{空}} = 5S $。
因为 $ V = V_{\mathrm{水}} + V_{\mathrm{空}} $，所以 $ 2000 = 20S + 5S $。
即 $ 25S = 2000 $，解得 $ S = 80\ \mathrm{cm}^2 $。
B
设瓶子底面积为 $ S\ \mathrm{cm}^2 $。
正放时水体积：$ V_{\mathrm{水}} = 20S $。
倒放时空余部分体积：$ V_{\mathrm{空}} = 5S $。
因为 $ V = V_{\mathrm{水}} + V_{\mathrm{空}} $，所以 $ 2000 = 20S + 5S $。
即 $ 25S = 2000 $，解得 $ S = 80\ \mathrm{cm}^2 $。
B
2. 如图，∠AOB = 140°，OC 平分∠AOB。现有射线 OP，OQ 分别从 OC，OB 同时出发，以每秒 15°和每秒 10°的速度绕点 O 按顺时针方向旋转，当 OP 旋转一周时，这两条射线都停止旋转，则经过(
A.8
B.8 或 20
C.20
D.16
B
)秒后，射线 OP，OQ 的夹角为 30°。A.8
B.8 或 20
C.20
D.16
答案
2. B
解析
解：
∵∠AOB=140°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=70°，即OC与OB初始夹角为70°。
设经过$ t $秒后，OP、OQ夹角为30°。
OP旋转角度：$ 15t $°，OQ旋转角度：$ 10t $°。
情况1：OP在OQ左侧
初始OC在OB左侧70°，OP顺时针旋转后位置：$ 70° - 15t $°（相对于OB），OQ位置：$ 10t $°（相对于OB）。
夹角关系：$ 10t - (70 - 15t) = 30 $
解得：$ 25t = 100 ⇒ t = 4 $（不合题意，OP未追上OQ，舍去）
情况2：OP在OQ右侧（OP追上并超过OQ）
$ (15t - 70) - 10t = 30 $
解得：$ 5t = 100 ⇒ t = 20 $
情况3：OP旋转超过一周前与OQ再次形成30°
OP旋转一周需$ \frac{360}{15} = 24 $秒，此时OQ旋转$ 10×24=240 $°。
OP未停止时，OP位置：$ 15t - 360 $°（超过一周后），OQ位置：$ 10t $°。
夹角关系：$ 10t - (15t - 360) = 30 $
解得：$ -5t = -330 ⇒ t = 66 $（超过24秒，舍去）
情况4：OP未超过一周，OQ在OP左侧30°
$ (15t - 70) - 10t = 360 - 30 $
解得：$ 5t = 400 ⇒ t = 80 $（超过24秒，舍去）
情况5：初始阶段OP未追上OQ时，OQ在OP右侧30°
$ 70 - 15t - 10t = 30 $
解得：$ -25t = -40 ⇒ t = 1.6 $（选项无此答案，舍去）
情况6：OP超过OQ后，OQ在OP左侧30°
$ (15t - 70) - 10t = 30 + 360k $（$ k=0 $时为情况2，$ k=1 $时$ t=80 $舍去）
综上，符合条件的$ t=8 $或$ t=20 $。
答案：B
∵∠AOB=140°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=70°，即OC与OB初始夹角为70°。
设经过$ t $秒后，OP、OQ夹角为30°。
OP旋转角度：$ 15t $°，OQ旋转角度：$ 10t $°。
情况1：OP在OQ左侧
初始OC在OB左侧70°，OP顺时针旋转后位置：$ 70° - 15t $°（相对于OB），OQ位置：$ 10t $°（相对于OB）。
夹角关系：$ 10t - (70 - 15t) = 30 $
解得：$ 25t = 100 ⇒ t = 4 $（不合题意，OP未追上OQ，舍去）
情况2：OP在OQ右侧（OP追上并超过OQ）
$ (15t - 70) - 10t = 30 $
解得：$ 5t = 100 ⇒ t = 20 $
情况3：OP旋转超过一周前与OQ再次形成30°
OP旋转一周需$ \frac{360}{15} = 24 $秒，此时OQ旋转$ 10×24=240 $°。
OP未停止时，OP位置：$ 15t - 360 $°（超过一周后），OQ位置：$ 10t $°。
夹角关系：$ 10t - (15t - 360) = 30 $
解得：$ -5t = -330 ⇒ t = 66 $（超过24秒，舍去）
情况4：OP未超过一周，OQ在OP左侧30°
$ (15t - 70) - 10t = 360 - 30 $
解得：$ 5t = 400 ⇒ t = 80 $（超过24秒，舍去）
情况5：初始阶段OP未追上OQ时，OQ在OP右侧30°
$ 70 - 15t - 10t = 30 $
解得：$ -25t = -40 ⇒ t = 1.6 $（选项无此答案，舍去）
情况6：OP超过OQ后，OQ在OP左侧30°
$ (15t - 70) - 10t = 30 + 360k $（$ k=0 $时为情况2，$ k=1 $时$ t=80 $舍去）
综上，符合条件的$ t=8 $或$ t=20 $。
答案：B
3. 某件商品进价 10 元，标价 15 元。为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利 2 元，则该商品应打
八
折出售。答案
3. 八
解析
设该商品应打$x$折出售。
根据题意，售价为$15×\frac{x}{10}$元，进价10元，获利2元，可得方程：
$15×\frac{x}{10}-10=2$
$1.5x=12$
$x=8$
八
根据题意，售价为$15×\frac{x}{10}$元，进价10元，获利2元，可得方程：
$15×\frac{x}{10}-10=2$
$1.5x=12$
$x=8$
八
4. 如图，在日历中，用 3×3 的九宫方格取 9 个数，这 9 个数的和是 135，那么这 9 个数中最小的数是
7
。答案
4. 7
解析
设这9个数中最小的数为$x$，则其余8个数分别为$x+1$，$x+2$，$x+7$，$x+8$，$x+9$，$x+14$，$x+15$，$x+16$。
根据题意可得：
$\begin{aligned}x+(x+1)+(x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)+(x+14)+(x+15)+(x+16)&=135\\9x+(1+2+7+8+9+14+15+16)&=135\\9x+72&=135\\9x&=63\\x&=7\end{aligned}$
7
根据题意可得：
$\begin{aligned}x+(x+1)+(x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)+(x+14)+(x+15)+(x+16)&=135\\9x+(1+2+7+8+9+14+15+16)&=135\\9x+72&=135\\9x&=63\\x&=7\end{aligned}$
7
5. 利用两块相同的长方体木块(阴影部分)测量一件长方体物品的高，首先按图(1)所示的方式放置，再按图(2)所示的方式放置，测量的数据如图所示，则长方体物品的高是
65
mm。答案
5. 65
解析
设长方体物品的高为$h$ mm，长方体木块的长为$a$ mm，宽为$b$ mm。
由图(1)可得：$h + b - a = 50$
由图(2)可得：$h + a - b = 80$
将两式相加：$(h + b - a) + (h + a - b) = 50 + 80$
化简得：$2h = 130$
解得：$h = 65$
65
由图(1)可得：$h + b - a = 50$
由图(2)可得：$h + a - b = 80$
将两式相加：$(h + b - a) + (h + a - b) = 50 + 80$
化简得：$2h = 130$
解得：$h = 65$
65
6. 小王和同学计划周末去公园玩，在 A 码头租一艘小艇，逆流而上，划行速度约为 4 千米/时。到 B 地后沿原路返回，速度增加了 50%，回到 A 码头比去时少花了 20 分钟。求 A，B 两地之间的路程。
答案
6. A，B 两地之间的路程为 4 千米。
解析
设A，B两地之间的路程为$x$千米。
逆流速度为4千米/时，返回时速度增加50%，则顺流速度为$4×(1 + 50\%) = 6$千米/时。
20分钟=$\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$小时。
根据时间=路程÷速度，去时所用时间为$\frac{x}{4}$小时，返回所用时间为$\frac{x}{6}$小时。
由回到A码头比去时少花了20分钟，可列方程：$\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{1}{3}$
解方程：
通分得$\frac{3x}{12}-\frac{2x}{12}=\frac{1}{3}$
$\frac{x}{12}=\frac{1}{3}$
$x = 4$
A，B两地之间的路程为4千米。
逆流速度为4千米/时，返回时速度增加50%，则顺流速度为$4×(1 + 50\%) = 6$千米/时。
20分钟=$\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$小时。
根据时间=路程÷速度，去时所用时间为$\frac{x}{4}$小时，返回所用时间为$\frac{x}{6}$小时。
由回到A码头比去时少花了20分钟，可列方程：$\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{1}{3}$
解方程：
通分得$\frac{3x}{12}-\frac{2x}{12}=\frac{1}{3}$
$\frac{x}{12}=\frac{1}{3}$
$x = 4$
A，B两地之间的路程为4千米。
7. 现政府大力提倡绿色、低碳出行，越来越多的人选择电动车出行。某商场销售一款电动车，每台的标价是 3270 元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利 9%。
(1) 求这款电动车每台的进价。
(2) 在这次促销活动中，该商场销售了这款电动车 100 台，共盈利多少元？
(1) 求这款电动车每台的进价。
(2) 在这次促销活动中，该商场销售了这款电动车 100 台，共盈利多少元？
答案
7. (1) 这款电动车每台的进价为 2400 元。
(2) 共盈利 21600 元。
(2) 共盈利 21600 元。
解析
【分析】
这是一道典型的销售类应用题，解题思路非常清晰：首先第一问求进价，我们先梳理已知条件：电动车标价3270元，打八折后的实际售价可以直接算出，题目中“盈利9%”指的是利润率为9%，利润率的计算基数是进价，因此可以得到等量关系：实际售价 = 进价×(1+利润率)，我们设进价为未知数，根据这个等量关系列一元一次方程就能直接解出进价。第二问求总盈利，先算出单台电动车的盈利（单台进价×9%），再乘以销售的100台，就能得到总盈利。
【解析】
(1) 设这款电动车每台的进价为$x$元，
根据题意，促销的实际售价为标价的八折，即$3270×0.8$，结合利润率和售价的关系列方程：
$(1+9\%)x = 3270×0.8$
计算等式右侧：$3270×0.8=2616$，
化简得$1.09x=2616$，
解得$x=2616÷1.09=2400$。
(2) 先计算单台电动车的盈利：$2400×9\%=216$元，
销售100台的总盈利为：$216×100=21600$元。
【答案】
(1) 这款电动车每台的进价为 2400 元。
(2) 共盈利 21600 元。
【知识点】
一元一次方程应用，销售利润率计算
【点评】
本题是初中数学非常基础的销售类应用题，核心考点就是明确利润率的计算基数是商品的进价，只要理清标价、折扣、实际售价、进价、利润这几个量的逻辑关系，套用基础公式就可以顺利求解，属于对销售问题基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的销售类应用题，解题思路非常清晰：首先第一问求进价，我们先梳理已知条件：电动车标价3270元，打八折后的实际售价可以直接算出，题目中“盈利9%”指的是利润率为9%，利润率的计算基数是进价，因此可以得到等量关系：实际售价 = 进价×(1+利润率)，我们设进价为未知数，根据这个等量关系列一元一次方程就能直接解出进价。第二问求总盈利，先算出单台电动车的盈利（单台进价×9%），再乘以销售的100台，就能得到总盈利。
【解析】
(1) 设这款电动车每台的进价为$x$元，
根据题意，促销的实际售价为标价的八折，即$3270×0.8$，结合利润率和售价的关系列方程：
$(1+9\%)x = 3270×0.8$
计算等式右侧：$3270×0.8=2616$，
化简得$1.09x=2616$，
解得$x=2616÷1.09=2400$。
(2) 先计算单台电动车的盈利：$2400×9\%=216$元，
销售100台的总盈利为：$216×100=21600$元。
【答案】
(1) 这款电动车每台的进价为 2400 元。
(2) 共盈利 21600 元。
【知识点】
一元一次方程应用，销售利润率计算
【点评】
本题是初中数学非常基础的销售类应用题，核心考点就是明确利润率的计算基数是商品的进价，只要理清标价、折扣、实际售价、进价、利润这几个量的逻辑关系，套用基础公式就可以顺利求解，属于对销售问题基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
