排序不等式
我们在公共场所有时需要排队，这个行为的目的是做事情有秩序，提高办事效率。每个人都反对有人插队，对于这种心理现象，我们可以用“排序不等式”进行解释。
食堂里有3名同学A，B，C在排队打汤，他们分别要打4，5，6碗。每打一碗需要1分钟，一个人打时其他人在后面排队。
若按照A→B→C的顺序排队，则三人打汤需要等待的时间总和是$4+(4+5)+(4+5+6)=4×3+5×2+6×1=28$（分钟）；若按照C→B→A的顺序排队，则三人打汤需要等待的时间总和是$6+(6+5)+(6+5+4)=6×3+5×2+4×1=32$（分钟）；其他顺序需要等待的时间总和可以类似算出。
由计算可知，如果某人在队列中用时较多，那么他在队列中的顺序越靠前，则总体需要等待的时间总和越大，这就是我们不喜欢别人插队的原因，而且，尽量不允许捎带，如果需要捎带，那么可以请这个人往后站，这样可以减少全体人员需要等待的时间总和。为了规范地表达其中的数学思想，我们用下面的“排序不等式”进行阐述。
排序不等式：设有两列数$a_1$，$a_2$，…，$a_n$和$b_1$，$b_2$，…，$b_n$满足$a_1 ≤ a_2 ≤ \dots ≤ a_n$，$b_1 ≤ b_2 ≤ \dots ≤ b_n$，则$a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n ≥ a_1b_{j_1}+a_2b_{j_2}+\dots+a_nb_{j_n} ≥ a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots+a_nb_1$，其中$j_1$，$j_2$，…，$j_n$是1，2，…，$n$的一个排列，当且仅当$a_1=a_2=\dots=a_n$或$b_1=b_2=\dots=b_n$时等号同时成立。
还可以这样表述：同序乘积之和≥乱序乘积之和≥逆序乘积之和。在排序不等式中，令$(a_1, a_2, a_3) = (4, 5, 6)$，$(b_1, b_2, b_3) = (1, 2, 3)$，则逆序乘积之和$(4×3+5×2+6×1) ＜$同序乘积之和$(6×3+5×2+4×1)$，这就是上面食堂打汤问题的结果。
思考6 你能用简洁的语言总结下排序不等式的规律吗？
思考7 你能用排序不等式解释一些生活中的现象吗？

思考6解答
顺序乘积最大，逆序乘积最小。（答案不唯一）
思考7解答
可以用排序不等式解释不少生活现象，举例如下：
1. 排队办事的最优顺序：比如多个顾客在窗口办理业务，各自的办理时长不同，把办理时长短的人排在前面、时长长的人排在后面，就对应“时长数列升序”和“排队位置权重数列降序”的逆序配对，能让所有人的总等待时间最短，这也是银行、政务大厅推荐快速业务优先办理的数学依据。
2. 任务安排优化：手头上有多项不同耗时的学习/工作任务，同时不同任务的紧急程度（可理解为时间权重）有差异，把耗时久的任务分配给时间权重低的时段、耗时短的任务分配给时间权重高的时段，就能最大化利用时间，降低整体的时间消耗成本。
3. 物资分配的效率优化：比如不同亩数的土地亩产量有高低差异，不同作物的单位面积收益也有差异，让亩产量高的土地种植单位收益高的作物（同序配对），就能让整体的总收益达到最大，这是农业生产安排里排序不等式的典型应用。