1. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论中一定正确的是 ()

A.$AB=AD$
B.$AC⊥BD$
C.$AC=BD$
D.$∠ACB=∠ACD$

(第1题图)
(第2题图)
(第3题图)
(第4题图)

C

根据矩形的性质逐一判断选项：
1. 选项A：AB=AD表示矩形邻边相等，这是正方形的特征，普通矩形邻边不一定相等，该结论错误。
2. 选项B：AC⊥BD表示对角线互相垂直，这是菱形的特征，普通矩形对角线不一定垂直，该结论错误。
3. 选项C：矩形的对角线相等是矩形的基本性质，因此AC=BD一定成立，该结论正确。
4. 选项D：∠ACB=∠ACD表示对角线AC平分∠BCD，仅当矩形为正方形时该结论成立，普通矩形不满足，该结论错误。

2. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=4$，$BC=6$，将线段$AB$水平向右平移$a$个单位长度得到线段$EF$.若四边形$ECDF$为菱形，则$a$的值为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

B

∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD//BC，AD=BC=6。
由平移的性质可得：EF//AB，EF=AB=4，AF=BE=a。
∵FD//EC，EF//CD，∴四边形ECDF是平行四边形。
若四边形ECDF为菱形，则需邻边相等，即EC=CD=4，
又EC=BC-BE=6-a，因此6-a=4，解得a=2。

3. 如图，四边形ABCD是菱形，$CD=5$，$BD=8$，$AE⊥ BC$于点E，则AE的长是（）

A.$\dfrac{24}{5}$
B.$6$
C.$\dfrac{48}{5}$
D.$12$

A

连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，BC=CD=5。
在Rt△COD中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴AC=2OC=6。
菱形的面积用对角线计算得：$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又∵AE⊥BC，菱形面积也可表示为$S=BC·AE$，
∴$5·AE=24$，解得$AE=\frac{24}{5}$。

4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（）

A.6
B.9
C.12
D.18
A D

C

∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，菱形的四条边都相等，已知AB=3，因此AB=BC=CD=DA=3，四边形ABCD的周长为4×3=12。

5.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,AF,DE相交于点M,G为BC上一点,N为EG的中点.若$BG=3$,$CG=1$,则线段$MN$的长为 ()


A.$\sqrt{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
C.$2$
D.$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$

B

1. 先求正方形边长：由$BG=3$，$CG=1$，得$BC=BG+CG=4$，即正方形$ABCD$边长为4。
2. 证明$M$是$DE$中点：因为$E,F$分别是$AB,CD$的中点，所以$AE// DF$且$AE=DF=2$，又$∠ EAD=90°$，因此四边形$AEFD$是矩形，矩形对角线互相平分，故$M$是$DE$的中点。
3. 利用三角形中位线定理：已知$N$是$EG$的中点，因此$MN$是$△ DEG$的中位线，可得$MN=\frac{1}{2}DG$。
4. 计算$DG$长度：在$Rt△ DCG$中，$DC=4$，$CG=1$，由勾股定理得$DG=\sqrt{DC^2+CG^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
5. 得$MN=\frac{\sqrt{17}}{2}$。