9. 如图是一个长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）.有一正方形的周长与该长方形的周长相等，用含m的代数式表示正方形的边长a.

9. 解:因为长方形的周长为$2(m+4+m+6)=4m+20$,
所以$a=\frac{1}{4}(4m+20)=m+5.$
答:正方形的边长为$m+5.$

10. 如图，小明和小美在做数学游戏.

(1)若小美给出的数是421，则得到的结果是；
(2)假设小美给出的三位数的百位数字为a，个位数字为b，请解释其中的原因.

10. (1) 180
(2) 解:由百位数字为a,个位数字是b,得十位数字是$(a-2)$,
所以这个三位数是:$100a+10(a-2)+b=110a+b-20.$
则百位数字与十位数字交换后的三位数为:$100(a-2)+10a+b=110a+b-200.$
又$(110a+b-20)-(110a+b-200)=180,$
所以无论小美写的三位数是几,最后的结果都是180.

11.小明用火柴棒按图中的方式搭图形，会产生若干个正方形：

(1)按图示规律填空：

(2)小明若使用2027根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？

11. (1) 22 5n+2 8 11 3n-1
(2) 解:根据题意,得$2+5n=2027,$
解得$n=405.$
因为图n中正方形的个数为$3n-1,$
所以第405个图形中,正方形的个数为$3×405-1=1214.$

12. 数学活动课上，王老师出示了一个问题：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}.$
(1)第5个式子为_________，第n个式子为_________；
(2)计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2024×2026}$；
(3)计算：$\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+$

解:(1)$\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2024×2026}$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2026})$
$=\frac{253}{1013}.$
(3)因为$\frac{1}{1+2}=\frac{2}{2×3}=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3});$
$\frac{1}{1+2+3}=\frac{2}{3×4}=2×(\frac{1}{3}-\frac{1}{4});$
$\frac{1}{1+2+3+4}=\frac{2}{4×5}=2×(\frac{1}{4}-\frac{1}{5});$
$\frac{1}{1+2+3+4+5}=\frac{2}{5×6}=2×(\frac{1}{5}-\frac{1}{6});$
……
$\frac{1}{1+2+3+…+2026}=\frac{2}{2026×2027}=2×(\frac{1}{2026}-\frac{1}{2027});$
所以原式$=2×(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{2026×2027})$
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2026}-\frac{1}{2027})$
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2027})$
$=1-\frac{2}{2027}$
$=\frac{2025}{2027}.$