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6. 用一条长为50 cm的细绳围一个等腰三角形.
（1）如果围成的等腰三角形的腰长是底边长的2倍，那么这个等腰三角形的底边长是多少？
（2）能否围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形？如果能，请求出各边长度；如果不能，请说明理由.
（3）能围成有一条边长为16 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出各边长度；如果不能，请说明理由.
（1）如果围成的等腰三角形的腰长是底边长的2倍，那么这个等腰三角形的底边长是多少？
（2）能否围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形？如果能，请求出各边长度；如果不能，请说明理由.
（3）能围成有一条边长为16 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出各边长度；如果不能，请说明理由.
答案
6. 解（1）因为围成的等腰三角形的腰长是底边长的2倍，所以设底边长为x cm，则腰长为2x cm. 则x+2x+2x=50，解得x=10. 所以这个等腰三角形的底边长为10 cm.（2）不能. 理由如下：因为底边长是腰长的3倍，所以设腰长为y cm，则底边长为3y cm.由题意得3y+y+y=50，解得y=10. 因为10+10＜30，所以不能构成三角形，故不能围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形.（3）能. 理由：当16 cm为该等腰三角形的腰长时，该等腰三角形的底边长为50−16−16=18（cm），符合三角形三边关系. 当16 cm为该等腰三角形的底边长时，该等腰三角形的腰长为$\frac{50-16}{2}=17$（cm），符合三角形三边关系.综上所述，能围成有一条边长为16 cm的等腰三角形，该等腰三角形的三边长分别为16 cm，16 cm，18 cm 或 16 cm，17 cm，17 cm.
解析
【分析】
本题围绕等腰三角形的周长计算与三角形三边关系展开考查，解题思路如下：
（1）第一问给出腰长和底边长的倍数关系，可设底边长为未知数，用含未知数的式子表示腰长，再根据细绳总长度即等腰三角形周长为50cm列方程求解即可。
（2）第二问先按题干给出的边长关系设未知数列方程求出边长，再根据“三角形任意两边之和大于第三边”验证是否能构成三角形，若不满足则不能围成。
（3）第三问未明确16cm是腰长还是底边长，需分两种情况分类讨论：①16cm为腰长，计算底边长后验证三边关系；②16cm为底边长，计算腰长后验证三边关系，符合三边关系的情况即为有效解。
【解析】
（1）设等腰三角形的底边长为$x\ \mathrm{cm}$，由题意得腰长为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据周长公式列方程：
$x+2x+2x=50$
解得$x=10$。
（2）不能围成，理由如下：
设等腰三角形的腰长为$y\ \mathrm{cm}$，则底边长为$3y\ \mathrm{cm}$。
根据周长列方程：
$3y+y+y=50$
解得$y=10$，此时底边长为$3×10=30\ \mathrm{cm}$，两腰长均为$10\ \mathrm{cm}$。
$\because 10+10=20＜30$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，
$\therefore$不能围成底边长是腰长3倍的等腰三角形。
（3）能围成，分两种情况讨论：
①当$16\ \mathrm{cm}$为等腰三角形的腰长时，底边长为$50-16×2=18\ \mathrm{cm}$，
此时三边长为$16\ \mathrm{cm}$、$16\ \mathrm{cm}$、$18\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
②当$16\ \mathrm{cm}$为等腰三角形的底边长时，腰长为$\frac{50-16}{2}=17\ \mathrm{cm}$，
此时三边长为$16\ \mathrm{cm}$、$17\ \mathrm{cm}$、$17\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
【答案】
（1）底边长为$10\ \mathrm{cm}$；
（2）不能围成，理由见解析；
（3）能围成，三边长为$16\ \mathrm{cm},16\ \mathrm{cm},18\ \mathrm{cm}$或$16\ \mathrm{cm},17\ \mathrm{cm},17\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1.等腰三角形周长计算
2.三角形三边关系
3.分类讨论思想
【点评】
本题属于三角形基础应用类题目，核心易错点有两处：一是求解边长后遗漏验证三角形三边关系，导致判断错误；二是第三问未考虑边长为腰或底的两种情况，出现漏解。解题时要养成计算后验证三边关系的习惯，涉及未明确边长类型的等腰三角形问题要先分类讨论。
【难度系数】
0.7
本题围绕等腰三角形的周长计算与三角形三边关系展开考查，解题思路如下：
（1）第一问给出腰长和底边长的倍数关系，可设底边长为未知数，用含未知数的式子表示腰长，再根据细绳总长度即等腰三角形周长为50cm列方程求解即可。
（2）第二问先按题干给出的边长关系设未知数列方程求出边长，再根据“三角形任意两边之和大于第三边”验证是否能构成三角形，若不满足则不能围成。
（3）第三问未明确16cm是腰长还是底边长，需分两种情况分类讨论：①16cm为腰长，计算底边长后验证三边关系；②16cm为底边长，计算腰长后验证三边关系，符合三边关系的情况即为有效解。
【解析】
（1）设等腰三角形的底边长为$x\ \mathrm{cm}$，由题意得腰长为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据周长公式列方程：
$x+2x+2x=50$
解得$x=10$。
（2）不能围成，理由如下：
设等腰三角形的腰长为$y\ \mathrm{cm}$，则底边长为$3y\ \mathrm{cm}$。
根据周长列方程：
$3y+y+y=50$
解得$y=10$，此时底边长为$3×10=30\ \mathrm{cm}$，两腰长均为$10\ \mathrm{cm}$。
$\because 10+10=20＜30$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，
$\therefore$不能围成底边长是腰长3倍的等腰三角形。
（3）能围成，分两种情况讨论：
①当$16\ \mathrm{cm}$为等腰三角形的腰长时，底边长为$50-16×2=18\ \mathrm{cm}$，
此时三边长为$16\ \mathrm{cm}$、$16\ \mathrm{cm}$、$18\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
②当$16\ \mathrm{cm}$为等腰三角形的底边长时，腰长为$\frac{50-16}{2}=17\ \mathrm{cm}$，
此时三边长为$16\ \mathrm{cm}$、$17\ \mathrm{cm}$、$17\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
【答案】
（1）底边长为$10\ \mathrm{cm}$；
（2）不能围成，理由见解析；
（3）能围成，三边长为$16\ \mathrm{cm},16\ \mathrm{cm},18\ \mathrm{cm}$或$16\ \mathrm{cm},17\ \mathrm{cm},17\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1.等腰三角形周长计算
2.三角形三边关系
3.分类讨论思想
【点评】
本题属于三角形基础应用类题目，核心易错点有两处：一是求解边长后遗漏验证三角形三边关系，导致判断错误；二是第三问未考虑边长为腰或底的两种情况，出现漏解。解题时要养成计算后验证三边关系的习惯，涉及未明确边长类型的等腰三角形问题要先分类讨论。
【难度系数】
0.7
7. 空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（
A.三角形两边的和大于第三边
B.三角形具有稳定性
C.三角形两边的差小于第三边
D.直角三角形有一个角是$90°$
B
）A.三角形两边的和大于第三边
B.三角形具有稳定性
C.三角形两边的差小于第三边
D.直角三角形有一个角是$90°$
答案
7. B
解析
【分析】
这道题考查三角形相关性质在实际生活中的应用，解题时首先观察到固定空调外机的支架为三角形，设计的核心目的是让支架更稳固、不易变形。接下来回忆三角形的相关性质：三角形具备特有的稳定性，是其他多边形不具备的性质；而三角形的三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）仅用于判断三条线段能否构成三角形，和结构稳固无关；直角三角形的角的特征也和固定支架的稳固需求没有关联，由此即可确定正确选项。
【解析】
三角形具有稳定性，这一特性可以让三角形结构保持稳固、不容易变形，生活中很多对结构牢固度有要求的设计都会应用该性质。本题中用三角形支架承托空调外机，就是为了让支架更牢固，应用的就是三角形的稳定性。
对各选项逐一分析：
A. 三角形两边的和大于第三边属于三角形三边关系，作用是判断三条线段能否构成三角形，与本题应用场景无关，排除；
B. 三角形具有稳定性，符合支架设计的几何原理，当选；
C. 三角形两边的差小于第三边也属于三角形三边关系，和结构稳固的需求无关，排除；
D. 直角三角形有一个角是90°是直角三角形的角的特征，不是本题应用的几何原理，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何知识结合生活实际的基础题，主要考查学生对三角形基础性质的理解，引导学生学会用所学的数学知识解释生活中的常见设计。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形相关性质在实际生活中的应用，解题时首先观察到固定空调外机的支架为三角形，设计的核心目的是让支架更稳固、不易变形。接下来回忆三角形的相关性质：三角形具备特有的稳定性，是其他多边形不具备的性质；而三角形的三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）仅用于判断三条线段能否构成三角形，和结构稳固无关；直角三角形的角的特征也和固定支架的稳固需求没有关联，由此即可确定正确选项。
【解析】
三角形具有稳定性，这一特性可以让三角形结构保持稳固、不容易变形，生活中很多对结构牢固度有要求的设计都会应用该性质。本题中用三角形支架承托空调外机，就是为了让支架更牢固，应用的就是三角形的稳定性。
对各选项逐一分析：
A. 三角形两边的和大于第三边属于三角形三边关系，作用是判断三条线段能否构成三角形，与本题应用场景无关，排除；
B. 三角形具有稳定性，符合支架设计的几何原理，当选；
C. 三角形两边的差小于第三边也属于三角形三边关系，和结构稳固的需求无关，排除；
D. 直角三角形有一个角是90°是直角三角形的角的特征，不是本题应用的几何原理，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何知识结合生活实际的基础题，主要考查学生对三角形基础性质的理解，引导学生学会用所学的数学知识解释生活中的常见设计。
【难度系数】
0.9
8. 有两种围篱笆的方法，如图所示. 用第
一
种方法围篱笆更牢固，这是应用了三角形具有稳定性
的数学原理.答案
8. 一 三角形具有稳定性
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平面图形的稳定性相关特性：三角形具有稳定性，结构稳固不易变形，而四边形具有不稳定性，容易发生形变。接下来观察两种篱笆的结构：第一种篱笆的拼接处形成了多个三角形结构，第二种篱笆全部是四边形网格结构，结合两种图形的特性即可判断哪种围法更牢固，对应相关数学原理。
【解析】
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性（容易变形）。观察两种围篱笆的方法：第一种围法中形成了大量三角形结构，该结构不易变形；第二种围法均为四边形结构，容易发生形变。因此用第一种方法围篱笆更牢固，应用了三角形具有稳定性的数学原理。
【答案】
一；三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题贴近生活实际，考查几何图形基本特性在生活中的应用，有助于培养学生将数学知识与生活场景结合的意识。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆平面图形的稳定性相关特性：三角形具有稳定性，结构稳固不易变形，而四边形具有不稳定性，容易发生形变。接下来观察两种篱笆的结构：第一种篱笆的拼接处形成了多个三角形结构，第二种篱笆全部是四边形网格结构，结合两种图形的特性即可判断哪种围法更牢固，对应相关数学原理。
【解析】
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性（容易变形）。观察两种围篱笆的方法：第一种围法中形成了大量三角形结构，该结构不易变形；第二种围法均为四边形结构，容易发生形变。因此用第一种方法围篱笆更牢固，应用了三角形具有稳定性的数学原理。
【答案】
一；三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题贴近生活实际，考查几何图形基本特性在生活中的应用，有助于培养学生将数学知识与生活场景结合的意识。
【难度系数】
0.9
