9.当$x=$时,$2x-3$与$\frac{5}{4x+3}$的值互为倒数.

$3$

由题意知两式互为倒数，则$(2x - 3)×\frac{5}{4x + 3}=1$，
因为分母不为$0$，则$4x+3\neq0$，
方程两边同乘$4x + 3$去分母得：$5(2x - 3)=4x + 3$，
去括号得$10x-15 = 4x+3$，
移项得$10x - 4x=3 + 15$，
合并同类项得$6x=18$，
系数化为$1$得$x = 3$。
检验：当$x = 3$时，$4x+3=4×3 + 3=15\neq0$，所以$x = 3$是原方程的解。

10.某公司库存原料$x$吨,原计划每天用$a$吨,若实际每天少用$b$吨,则可以多用天.

$\frac{bx}{a(a - b)}$（天对应的填空答案（题目原空白形式推测为填表达式）直接填表达式结果即可）即 $\frac{bx}{a(a - b)}$。

本题可先分别求出原计划使用天数和实际使用天数，再通过两者的差值求出多用的天数。
步骤一：求出原计划使用天数
已知公司库存原料$x$吨，原计划每天用$a$吨，根据“使用天数$=$原料总量$÷$每天使用量”，可得原计划使用的天数为$\frac{x}{a}$天。
步骤二：求出实际使用天数
因为实际每天少用$b$吨，所以实际每天使用$(a - b)$吨，同样根据“使用天数$=$原料总量$÷$每天使用量”，可得实际使用的天数为$\frac{x}{a - b}$天。
步骤三：求出多用的天数
用实际使用天数减去原计划使用天数，即$\frac{x}{a - b}-\frac{x}{a}$，对其通分可得：
$\frac{x}{a - b}-\frac{x}{a}=\frac{ax}{a(a - b)}-\frac{(a - b)x}{a(a - b)}=\frac{ax - (a - b)x}{a(a - b)}=\frac{ax - ax + bx}{a(a - b)}=\frac{bx}{a(a - b)}$（天）

11.(8分)化简与计算.
(1)$(\frac{x+1}{x-1}+\frac{1}{x^2-2x+1})÷\frac{x}{x-1}$
(2)$(-\frac{1}{2})^2-2^3×0.125+2021^0+|-1|$

(1) 原式$=[\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}]·\frac{x-1}{x}$
$=\frac{x^2 - 1 + 1}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{x}$
$=\frac{x^2}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{x}$
$=\frac{x}{x-1}$
(2) 原式$=\frac{1}{4}-8×0.125 + 1 + 1$
$=\frac{1}{4}-1 + 1 + 1$
$=\frac{1}{4}+1$
$=\frac{5}{4}$

12.(7分)解方程:$\frac{1}{x+3}-\frac{2}{3-x}=\frac{12}{x^2-9}$.

去分母，方程两边同乘最简公分母$(x + 3)(x - 3)$，得：
$1 · (x - 3) + 2 · (x + 3) = 12$
去括号：
$x - 3 + 2x + 6 = 12$
合并同类项：
$3x + 3 = 12$
移项、化简：
$3x = 9$
$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$(x + 3)(x - 3) = 0$，分母为0，$x = 3$是增根。
故原方程无解。

13.(7分)先化简,再求值:$(x-\frac{3x}{x+1})÷\frac{x-2}{x^2+2x+1}$,其中$x$满足$x^2+x-2=0$.

2

化简过程：
$\begin{aligned}&(x - \frac{3x}{x + 1}) ÷ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 1}\\=&\left(\frac{x(x + 1)}{x + 1} - \frac{3x}{x + 1}\right) × \frac{(x + 1)^2}{x - 2}\\=&\frac{x(x + 1) - 3x}{x + 1} × \frac{(x + 1)^2}{x - 2}\\=&\frac{x^2 + x - 3x}{x + 1} × \frac{(x + 1)^2}{x - 2}\\=&\frac{x^2 - 2x}{x + 1} × \frac{(x + 1)^2}{x - 2}\\=&\frac{x(x - 2)}{x + 1} × \frac{(x + 1)^2}{x - 2}\\=&x(x + 1)\\=&x^2 + x\end{aligned}$
求值：
因为$x$满足$x^2 + x - 2 = 0$，所以$x^2 + x = 2$。

14.(8分)某校师生到距学校$20\ km$的公路旁植树,甲班师生骑自行车先走,$45\ min$后乙班师生乘汽车出发,结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍,求两种车的速度各是多少.

设自行车的速度为$x$ km/h，则汽车的速度为$2.5x$ km/h。
45分钟=$\frac{3}{4}$小时。
甲班所用时间为$\frac{20}{x}$小时，乙班所用时间为$\frac{20}{2.5x}$小时。
依题意，甲班比乙班多用$\frac{3}{4}$小时，列方程：
$\frac{20}{x}=\frac{20}{2.5x}+\frac{3}{4}$
化简$\frac{20}{2.5x}=\frac{8}{x}$，方程变为：
$\frac{20}{x}-\frac{8}{x}=\frac{3}{4}$
$\frac{12}{x}=\frac{3}{4}$
解得$x=16$
经检验，$x=16$是原方程的解。
汽车速度：$2.5x=2.5×16=40$ km/h。
答：自行车速度为16 km/h，汽车速度为40 km/h。