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1.下列因式分解正确的是(
A.$a^{2}-ab+a=a(a-b)$
B.$m^{2}+n^{2}=(m+n)(m-n)$
C.$x+1=x(1+\frac{1}{x})$
D.$x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$
D
).A.$a^{2}-ab+a=a(a-b)$
B.$m^{2}+n^{2}=(m+n)(m-n)$
C.$x+1=x(1+\frac{1}{x})$
D.$x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$
答案
D
解析
A选项：$a^{2}-ab+a=a(a - b + 1) \neq a(a - b)$，所以A选项错误。
B选项：$m^{2}+n^{2}$在实数范围内不能分解为$(m + n)(m - n)$，$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，所以B选项错误。
C选项：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而$x(1+\frac{1}{x})$中$\frac{1}{x}$不是整式，所以C选项错误。
D选项：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$，所以D选项正确。
B选项：$m^{2}+n^{2}$在实数范围内不能分解为$(m + n)(m - n)$，$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，所以B选项错误。
C选项：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而$x(1+\frac{1}{x})$中$\frac{1}{x}$不是整式，所以C选项错误。
D选项：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$，所以D选项正确。
2.下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是(
A.$-x^{2}+16$
B.$x^{2}+9$
C.$-x^{2}-4$
D.$x^{2}-2y$
A
).A.$-x^{2}+16$
B.$x^{2}+9$
C.$-x^{2}-4$
D.$x^{2}-2y$
答案
A
解析
平方差公式为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其特点是两项都能写成平方的形式，且符号相反。
选项A：$-x^2 + 16=16 - x^2=4^2 - x^2$，符合平方差公式的形式，可分解为$(4 + x)(4 - x)$。
选项B：$x^2 + 9$两项符号相同，不能用平方差公式分解因式。
选项C：$-x^2 - 4$两项符号相同，不能用平方差公式分解因式。
选项D：$x^2 - 2y$中$2y$不能写成某个数或式的平方形式，不能用平方差公式分解因式。
选项A：$-x^2 + 16=16 - x^2=4^2 - x^2$，符合平方差公式的形式，可分解为$(4 + x)(4 - x)$。
选项B：$x^2 + 9$两项符号相同，不能用平方差公式分解因式。
选项C：$-x^2 - 4$两项符号相同，不能用平方差公式分解因式。
选项D：$x^2 - 2y$中$2y$不能写成某个数或式的平方形式，不能用平方差公式分解因式。
3.已知$m^{2}=4n+a$，$n^{2}=4m+a$，$m\ne n$，则$m^{2}+2mn+n^{2}$的值为(
A.16
B.12
C.10
D.无法确定
A
).A.16
B.12
C.10
D.无法确定
答案
A
解析
由已知$m^{2}=4n+a$，$n^{2}=4m+a$，两式相减得$m^{2}-n^{2}=4n-4m$，即$(m-n)(m+n)=-4(m-n)$。因为$m\ne n$，所以$m-n\ne0$，两边同除以$m-n$得$m+n=-4$。则$m^{2}+2mn+n^{2}=(m+n)^{2}=(-4)^{2}=16$。
4.把多项式$x^{2}+ax+b$分解因式得$(x+1)(x-3)$，则$a+b$的值是(
A.5
B.-5
C.1
D.-1
B
).A.5
B.-5
C.1
D.-1
答案
B
解析
根据题意，将多项式$(x+1)(x-3)$展开得：
$(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$，
与原多项式$x^2 + ax + b$对比，可以得到：
$a = -2$，$b = -3$，
所以，$a+b = -2 + (-3) = -5$。
$(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$，
与原多项式$x^2 + ax + b$对比，可以得到：
$a = -2$，$b = -3$，
所以，$a+b = -2 + (-3) = -5$。
5.因式分解$(x+y)^{2}-2(x^{2}-y^{2})+(x-y)^{2}$的结果为(
A.$4(x-y)^{2}$
B.$4x^{2}$
C.$4(x+y)^{2}$
D.$4y^{2}$
D
).A.$4(x-y)^{2}$
B.$4x^{2}$
C.$4(x+y)^{2}$
D.$4y^{2}$
答案
D
解析
原式$(x+y)^{2}-2(x^{2}-y^{2})+(x-y)^{2}$
$=(x+y)^{2}-2(x+y)(x-y)+(x-y)^{2}$
$=[(x+y)-(x-y)]^{2}$
$=(x+y-x+y)^{2}$
$=4y^{2}$
$=(x+y)^{2}-2(x+y)(x-y)+(x-y)^{2}$
$=[(x+y)-(x-y)]^{2}$
$=(x+y-x+y)^{2}$
$=4y^{2}$
6.若$x^{2}+2(m-3)x+16$是关于$x$的完全平方式，则$m=$
7或-1
.答案
$7$或$-1$（或填对应选项字母（若存在的话））
解析
题目给定多项式 $x^{2}+2(m-3)x+16$ 是完全平方式，因此可以写成 $(x+a)^{2}$ 的形式，其中 $a$ 为常数。
展开 $(x+a)^{2}$ 得 $x^{2}+2ax+a^{2}$。
对比系数可得：
$2a=2(m-3)$，
$a^{2}=16$。
由 $a^{2}=16$ 可得 $a=4$ 或 $a=-4$。
若 $a=4$，则 $2×4=2(m-3)$，解得 $m=7$。
若 $a=-4$，则 $2×(-4)=2(m-3)$，解得 $m=-1$。
因此，$m$ 的值为 $7$ 或 $-1$。
展开 $(x+a)^{2}$ 得 $x^{2}+2ax+a^{2}$。
对比系数可得：
$2a=2(m-3)$，
$a^{2}=16$。
由 $a^{2}=16$ 可得 $a=4$ 或 $a=-4$。
若 $a=4$，则 $2×4=2(m-3)$，解得 $m=7$。
若 $a=-4$，则 $2×(-4)=2(m-3)$，解得 $m=-1$。
因此，$m$ 的值为 $7$ 或 $-1$。
7.若$a+b=2$，$ab=-5$，则代数式$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为
-20
.答案
-20
解析
$\begin{aligned}a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}&=ab(a^{2} + 2ab + b^{2})\\&=ab(a + b)^{2}\\\because a + b = 2, ab = -5\\\therefore 原式&=-5×2^{2}\\&=-5×4\\&=-20\end{aligned}$
8.已知$m+n=mn$，则$(m-1)(n-1)=$
1
.答案
1
解析
已知$m+n=mn$，需要求$(m-1)(n-1)$的值。
将$(m-1)(n-1)$展开，得到：
$(m-1)(n-1) = mn - m - n + 1$
根据已知条件$m+n=mn$，将其代入上式，得到：
$(m-1)(n-1) = mn - (m+n) + 1 = mn - mn + 1 = 1$
将$(m-1)(n-1)$展开，得到：
$(m-1)(n-1) = mn - m - n + 1$
根据已知条件$m+n=mn$，将其代入上式，得到：
$(m-1)(n-1) = mn - (m+n) + 1 = mn - mn + 1 = 1$
9.计算$123^{2}-124 × 122$的值为
1
.答案
（这里假设是填空题，答案填具体数值）1
解析
原式可转化为：
$123^{2} - (123 + 1)(123 - 1)$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$的逆用，这里$a = 123$，$b = 1$，则$(123 + 1)(123 - 1)=123^{2}-1$。
原式$ = 123^{2}-(123^{2}-1)$
去括号得：
$123^{2}-123^{2}+1$
$= 1$
$123^{2} - (123 + 1)(123 - 1)$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$的逆用，这里$a = 123$，$b = 1$，则$(123 + 1)(123 - 1)=123^{2}-1$。
原式$ = 123^{2}-(123^{2}-1)$
去括号得：
$123^{2}-123^{2}+1$
$= 1$
10.分解因式:$2x^{3}-6x^{2}+4x=$
$2x(x - 1)(x - 2)$
.答案
$2x(x - 1)(x - 2)$。
解析
首先，从多项式$2x^{3} - 6x^{2} + 4x$中提取最大公因式$2x$，得到：
$2x^{3} - 6x^{2} + 4x = 2x(x^{2} - 3x + 2)$，
接下来，对二次多项式$x^{2} - 3x + 2$进行因式分解。
这是一个二次多项式，可以通过寻找两个数，它们的和为-3，且它们的乘积为2来进行因式分解。
这两个数分别是-1和-2。
因此，可以将$x^{2} - 3x + 2$分解为：
$x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$，
代入之前的等式，得到：
$2x^{3} - 6x^{2} + 4x = 2x(x - 1)(x - 2)$。
$2x^{3} - 6x^{2} + 4x = 2x(x^{2} - 3x + 2)$，
接下来，对二次多项式$x^{2} - 3x + 2$进行因式分解。
这是一个二次多项式，可以通过寻找两个数，它们的和为-3，且它们的乘积为2来进行因式分解。
这两个数分别是-1和-2。
因此，可以将$x^{2} - 3x + 2$分解为：
$x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$，
代入之前的等式，得到：
$2x^{3} - 6x^{2} + 4x = 2x(x - 1)(x - 2)$。
11.(8 分)将下列各式因式分解.
(1)$6xy^{2}-9x^{2}y-y^{3}$
(2)$(a^{2}+1)^{2}-4a^{2}$
(1)$6xy^{2}-9x^{2}y-y^{3}$
(2)$(a^{2}+1)^{2}-4a^{2}$
答案
(1) $6xy^{2}-9x^{2}y-y^{3}$
$=-y(9x^{2}-6xy+y^{2})$
$=-y(3x - y)^{2}$
(2) $(a^{2}+1)^{2}-4a^{2}$
$=(a^{2}+1 + 2a)(a^{2}+1 - 2a)$
$=(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$
$=-y(9x^{2}-6xy+y^{2})$
$=-y(3x - y)^{2}$
(2) $(a^{2}+1)^{2}-4a^{2}$
$=(a^{2}+1 + 2a)(a^{2}+1 - 2a)$
$=(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$
