8.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示,有如下结论：
①$abc＞0$;②$2a+b=0$;③$3b-2c＜0$;④$am^2+bm\geq a+b$($m$为实数).
其中,正确的结论有().


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D

由图像开口向上得$a＞0$；对称轴$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a＜0$；与$y$轴交于负半轴得$c＜0$。
①$abc＞0$：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc=(+)(-)(-)=+＞0$，正确。
②$2a+b=0$：由$b=-2a$得$2a+b=0$，正确。
③$3b-2c＜0$：$x=-1$时$y＞0$，即$a-b+c＞0$，$b=-2a$代入得$3a+c＞0$，则$3b-2c=-6a-2c=-2(3a+c)＜0$，正确。
④$am^2+bm≥a+b$：抛物线开口向上，对称轴$x=1$，$x=1$时取最小值，故$am^2+bm+c≥a+b+c$，即$am^2+bm≥a+b$，正确。

9.如图,在$\triangle ABC$中,已知$\angle ABC=90°$,$\angle BAC=30°$,$BC=1$,将$\triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$90°$后得到$\triangle AB'C'$,则图中阴影部分的面积为().


A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi-\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\pi-\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$

B

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90°$，$\angle BAC=30°$，$BC=1$，则$AC=2BC=2$（30°角所对直角边是斜边一半），$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}$。
将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$90°$得$\triangle AB'C'$，则$AC'=AC=2$，旋转角$\angle CAC'=90°$，$S_{\triangle AB'C'}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
阴影部分面积为扇形$ACC'$面积减去$\triangle ABC$和$\triangle AB'C'$面积后的一半（两三角形无重叠，扇形内剩余区域对称）：
扇形$ACC'$面积：$\frac{90°}{360°}×\pi× AC^2=\frac{1}{4}\pi×2^2=\pi$；
两三角形面积和：$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$；
阴影面积：$\frac{1}{2}(\pi-\sqrt{3})=\frac{\pi-\sqrt{3}}{2}$。

10.如图,抛物线$y=\frac{1}{4}x^2-4$与$x$轴交于$A$,$B$两点,$P$是以点$C(0,3)$为圆心、2为半径的圆上的动点,$Q$是线段$PA$的中点,连接$OQ$,则线段$OQ$的最大值是().


A.3
B.$\frac{\sqrt{41}}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.4

C

抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 - 4$与$x$轴交于$A$、$B$两点，令$y=0$，解得$x=\pm4$，则$A(-4,0)$，$B(4,0)$，原点$O$为$AB$中点。$Q$是$PA$中点，由三角形中位线定理，$OQ$为$\triangle PAB$的中位线，故$OQ=\frac{1}{2}PB$。$P$在以$C(0,3)$为圆心、半径为2的圆上，$B(4,0)$到圆心$C$的距离$CB=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=5$，则$PB$最大值为$CB+2=7$，故$OQ$最大值为$\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$。

11.抛物线$y=3(x-1)^2+2$的顶点坐标为.

$(1,2)$（题目是填空题，按照要求这里应填坐标形式，若原题有特定格式要求按原题来，这里假设填坐标）

对于抛物线的顶点式$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$，$a$、$h$、$k$为常数），其顶点坐标为$(h,k)$。
在抛物线$y = 3(x - 1)^2 + 2$中，$h = 1$，$k = 2$，所以顶点坐标为$(1,2)$。

12.星地超市8月份的营业额为25万元,10月份的营业额为36万元.设每月的平均增长率为$x$,则可列出方程.

$25(1 + x)^{2} = 36$

设每月的平均增长率为$x$，则9月份的营业额为$25(1 + x)$万元，10月份的营业额为$25(1 + x)^{2}$万元。
根据题意，10月份的营业额为36万元，因此可以列出方程：
$25(1 + x)^{2} = 36$

13.某校欲从初三级部3名女生、2名男生中任选2名学生代表学校参加全市举办的“中国梦·青春梦”演讲比赛,则恰好选中1男1女的概率是.

3/5

设3名女生为A、B、C，2名男生为D、E。所有可能的选法有：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种。其中恰好选中1男1女的有AD、AE、BD、BE、CD、CE，共6种。所以概率为6/10=3/5。

14.在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A(3,4)$,将$OA$绕坐标原点$O$旋转$90°$到$OA_1$,则点$A_1$的坐标是.

(-4,3)

点A(3,4)绕原点O逆时针旋转90°，根据旋转性质，坐标变换规律为(x,y)→(-y,x)，则A₁坐标为(-4,3)；顺时针旋转90°时坐标为(4,-3)。题目未明确方向，通常默认逆时针旋转，故A₁坐标为(-4,3)。

15.如图,六边形$ABCDEF$是正六边形,曲线$FA_1B_1C_1D_1E_1F_1···$叫作“正六边形的渐开线”,$FA_1$,$A_1B_1$,$B_1C_1$,$C_1D_1$,$D_1E_1$,$E_1F_1$,$···$的圆心依次按$A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$循环,且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当$AB=1$时,曲线$FA_1B_1C_1D_1E_1F_1$的长度是.

·86·

$7\pi$

正六边形外角为$360°÷6=60°$，弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$。
$FA_1$：圆心$A$，半径$AF=1$，弧长$l_1=\frac{60\pi×1}{180}=\frac{\pi}{3}$；
$A_1B_1$：圆心$B$，半径$BA_1=AB+AF=2$，弧长$l_2=\frac{60\pi×2}{180}=\frac{2\pi}{3}$；
$B_1C_1$：圆心$C$，半径$CB_1=BC+BA_1=3$，弧长$l_3=\frac{60\pi×3}{180}=\pi$；
$C_1D_1$：圆心$D$，半径$DC_1=CD+CB_1=4$，弧长$l_4=\frac{60\pi×4}{180}=\frac{4\pi}{3}$；
$D_1E_1$：圆心$E$，半径$ED_1=DE+DC_1=5$，弧长$l_5=\frac{60\pi×5}{180}=\frac{5\pi}{3}$；
$E_1F_1$：圆心$F$，半径$FE_1=EF+ED_1=6$，弧长$l_6=\frac{60\pi×6}{180}=2\pi$。
总长度$L=l_1+l_2+l_3+l_4+l_5+l_6=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}+\pi+\frac{4\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}+2\pi=7\pi$。