13.(8分)如图,以$D$为顶点的抛物线$y = -x^2 + bx + c$交$x$轴于$A$,$B$两点,交$y$轴于点$C$,直线$BC$的表达式为$y = -x + 3$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)在抛物线对称轴上是否有一点$P$,使$\triangle PAC$的周长最小?若存在,求出点$P$的坐标以及$\triangle PAC$周长最小值.

(1) 对于直线$BC:y=-x+3$，令$x=0$，得$y=3$，则$C(0,3)$；令$y=0$，得$x=3$，则$B(3,0)$。
抛物线$y=-x^2+bx+c$过点$C(0,3)$，则$c=3$。
又抛物线过点$B(3,0)$，代入得$0=-3^2+3b+3$，解得$b=2$。
故抛物线表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 抛物线$y=-x^2+2x+3$的对称轴为$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
令$-x^2+2x+3=0$，解得$x=-1$或$x=3$，则$A(-1,0)$。
$A(-1,0)$与$B(3,0)$关于对称轴$x=1$对称，连接$BC$交对称轴于点$P$，此时$PA+PC=PB+PC=BC$最小。
直线$BC:y=-x+3$与对称轴$x=1$交于点$P$，将$x=1$代入得$y=2$，则$P(1,2)$。
$AC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}$。
$\triangle PAC$周长最小值为$AC+BC=\sqrt{10}+3\sqrt{2}$。
(1) 抛物线表达式为$y=-x^2+2x+3$；
(2) 存在点$P(1,2)$，$\triangle PAC$周长最小值为$\sqrt{10}+3\sqrt{2}$。

14.(8分)某商店销售一款进价为每件40元的护肤品,调查发现:销售单价不低于40元且不高于80元时,该商品的日销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)之间存在一次函数关系.当销售单价为44元时,日销售量为72件;当销售单价为48元时,日销售量为64件.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)设该护肤品的日销售利润为$w$(元),当销售单价$x$为多少时,日销售利润$w$最大?最大日销售利润是多少?

14. (1) 设 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = kx + b$（$k \ne 0$）。
根据题意，当 $x = 44$ 时，$y = 72$；当 $x = 48$ 时，$y = 64$，代入得：
$\begin{cases}44k + b = 72, \\48k + b = 64.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -2, \\b = 160.\end{cases}$
所以 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = -2x + 160$（$40 \leq x \leq 80$）。
(2) 根据题意，日销售利润 $w$ 可表示为：
$w = (x - 40)(-2x + 160) = -2x^2 + 240x - 6400= -2(x - 60)^2 + 800$，
由于 $a = -2 ＜ 0$，这是一个开口向下的抛物线，因此当 $x = 60$ 时，$w$ 取得最大值，即 $w_{ 最大} = 800$。
所以当销售单价 $x$ 为 60 元时，日销售利润 $w$ 最大，最大日销售利润是 800 元。