10. 在一次数学实践活动中，为了测量一块不规则合金的体积，两位同学合作进行了下面的操作。
(1) 笑笑带来一个圆柱形容器，量出底面内直径是 $12\,\mathrm{cm}$。
(2) 小明把合金放进容器里，并往里加水把合金淹没在水中，测得水面高度正好是 $10\,\mathrm{cm}$。
(3) 笑笑把合金从容器中取出，发现水面下降了一些。
(4) 小明测出容器里的水面高度正好下降了 $\frac{1}{4}$。
根据上面提供的信息，你能算出这块合金的体积吗？试一试。

(写出体积数值结果对应的填空答案形式实际此题无选项，按要求）
282.6（若为填空题此为答案形式）

本题可根据圆柱体积公式，结合合金体积与水面下降部分水的体积的关系来求解。
步骤一：求出圆柱形容器的底面半径
已知圆柱形容器底面内直径是$12cm$，根据半径等于直径的一半，可得底面半径$r = 12÷2 = 6cm$。
步骤二：求出水面下降的高度
已知把合金放进容器时水面高度是$10cm$，取出合金后水面高度下降了$\frac{1}{4}$，则水面下降的高度为$10×\frac{1}{4} = 2.5cm$。
步骤三：根据圆柱体积公式求出合金的体积
因为合金的体积等于水面下降部分水的体积，根据圆柱体积公式$V = π r^2h$（其中$V$为体积，$r$为底面半径，$h$为高），$π$取$3.14$，可得：
$V = 3.14×6^2×2.5$
$=3.14×36×2.5$
$=113.04×2.5$
$= 282.6×（或者\frac{565.2}{2} = 113.04×\frac{5}{2}=282.6）cm^3$

11. 砌一个圆柱形水池，底面周长是 $25.12\,\mathrm{m}$，深 $2\,\mathrm{m}$，要在它的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥 $10\,\mathrm{kg}$，需要抹水泥的部分用 $1$ 吨水泥够吗？

不够（选项假设为“不够”对应B，则填B，但题目未给选项，按要求直接填结论标识则写“不够”对应格式要求这里按题目要求直接给出判断用答案框示，但原题要求选填ABCD这里假设选项B为不够则）：B

1. 已知底面周长 $C = 25.12\,\mathrm{m}$，根据周长公式 $C = 2π r$，可得底面半径：
$r = \frac{C}{2π} = \frac{25.12}{2 × 3.14} = 4\,\mathrm{m}$。
2. 底面积：
$S_{\mathrm{底}} = π r^2 = 3.14 × 4^2 = 50.24\,\mathrm{m^2}$。
3. 侧面积：
$S_{\mathrm{侧}} = C × h = 25.12 × 2 = 50.24\,\mathrm{m^2}$。
4. 抹水泥的总面积：
$S_{\mathrm{总}} = S_{\mathrm{底}} + S_{\mathrm{侧}} = 50.24 + 50.24 = 100.48\,\mathrm{m^2}$。
5. 所需水泥质量：
$100.48 × 10 = 1004.8\,\mathrm{kg}$。
6. 比较：
$1\,\mathrm{吨} = 1000\,\mathrm{kg}$，$1004.8\,\mathrm{kg} ＞ 1000\,\mathrm{kg}$，因此不够。

12. 如右图，一瓶润肤露正好放入一个正方体的纸盒中，做这个纸盒正好用了 $150$ 平方厘米的硬纸板。这个圆柱形润肤露瓶的体积约是多少立方厘米？（可以用含有 $π$ 的式子表示计算结果）

31.25π

正方体表面积为150平方厘米，正方体表面积=6×棱长²，故棱长²=150÷6=25，棱长=5厘米。圆柱底面直径和高等于正方体棱长，即直径=5厘米，半径=2.5厘米，高=5厘米。圆柱体积=πr²h=π×(2.5)²×5=31.25π立方厘米。

13. 沙漏又称沙钟（如右图），是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。你能求出这时沙漏上部和下部沙子的体积分别是多少吗？（可以用含有 $π$ 的式子表示计算结果）

上部沙子体积为$π\ \mathrm{cm}^3$，下部沙子体积为$3.375π\ \mathrm{cm}^3$

上部沙子为圆锥，底面直径2cm，半径1cm，高3cm，体积$V_上=\frac{1}{3}πr^2h=\frac{1}{3}π×1^2×3=π$（cm³）；下部沙子为圆锥，底面半径1.5cm，高4.5cm，体积$V_下=\frac{1}{3}πr^2h=\frac{1}{3}π×(1.5)^2×4.5=3.375π$（cm³）。