12. 在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理三角形之间的关系，如图。请帮他在括号内填上一个适当的条件，使等腰$\triangle ABC$成为等边三角形，此条件为。

AB=BC(或AC=BC或∠A=∠B或∠A=∠C或∠B=60°或∠C=60°等，答案不唯一)

13. 命题“若$x＞0$，则$x^2＞0$”的逆命题是(填“真”或“假”)命题。

假。

逆命题是“若$x^2 ＞ 0$，则$x ＞ 0$”。
考虑$x$的取值，当$x^2 ＞ 0$时，$x$可以是正数或负数。
例如，当$x = -1$时，$x^2 = 1 ＞ 0$，但$x \not＞ 0$。
因此，逆命题是假命题。

14. 小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图。小丽坐在秋千的起始位置$A$处，$OA$与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在$B$处接住她后用力一推，爸爸在$C$处接住她。若点$B$距离地面的高度为$1.5\ m$，点$B$到$OA$的距离$BD$为$1.7\ m$，点$C$距离地面的高度是$1.6\ m$，$\angle BOC = 90^{\circ}$，则点$C$到$OA$的距离$CE$为米。

1.8

设秋千悬挂点为$ O $，$ OA $垂直地面，绳子长度$ OB=OC=OA=L $（常量）。以$ O $为原点，$ OA $为$ y $轴正方向，水平方向为$ x $轴建立坐标系。
关键步骤：
1. 求$ O $到地面高度$ K $及相关量
设$ O $到地面高度为$ K $。对$ B $点：高度$ 1.5\ m $，竖直距离$ OD=K-1.5 $，水平距离$ BD=1.7\ m $，由勾股定理：
$ (K-1.5)^2 + 1.7^2 = L^2 \quad (1) $
对$ C $点：高度$ 1.6\ m $，竖直距离$ OE=K-1.6 $，水平距离$ CE=x $（待求），同理：
$ (K-1.6)^2 + x^2 = L^2 \quad (2) $
2. 联立方程（1）（2）消去$ L^2 $
$ (K-1.5)^2 + 1.7^2 = (K-1.6)^2 + x^2 $
展开化简得：
$ 0.2K = x^2 - 2.58 \quad (3) $
3. 利用$ \angle BOC=90° $（向量数量积为0）
向量$ \overrightarrow{OB}=(1.7, K-1.5) $，$ \overrightarrow{OC}=(-x, K-1.6) $（$ C $在$ OA $另一侧），数量积为0：
$ 1.7(-x) + (K-1.5)(K-1.6) = 0 \implies (K-1.5)(K-1.6) = 1.7x \quad (4) $
4. 求解$ x $
设$ x=1.8 $，代入（3）得$ K=3.3\ m $，则$ K=3.3 $，$ OD=1.8 $，$ OE=1.7 $。代入（4）验证：
$ (3.3-1.5)(3.3-1.6)=1.8 × 1.7=3.06=1.7 × 1.8 $
等式成立，故$ x=1.8 $。
结论：
点$ C $到$ OA $的距离$ CE=1.8\ 米 $。

15. 将一张长方形纸片按以下步骤折叠：(1)如图(1)，将纸片对折，点$C$落在点$B$处，得到折痕$AP$后展开纸片；(2)如图(2)，将$\angle BPA$对折，点$B$落在折痕$AP$上的点$B'$处，得到折痕$PM$；(3)如图(3)，将$\angle CPM$对折，点$C$落在折痕$PM$上的点$C'$处，得到折痕$PN$，则$\angle MPN=$。

67.5°

解：
1. 第一步折叠：将点C折叠到点B，折痕AP为BC的垂直平分线，故P为BC中点，AP⊥BC，∠APB=∠APC=90°。
2. 第二步折叠：对折∠BPA（90°），折痕PM平分∠BPA，得∠BPM=∠APM=45°。
3. 第三步折叠：∠CPM=180°-∠BPM=180°-45°=135°，对折∠CPM，折痕PN平分∠CPM，得∠CPN=∠MPN=135°/2=67.5°。
∠MPN=67.5°

16. (本题满分8分)
如图，$AD// BC$。
(1)尺规作图：作$\angle ABC$的平分线交$AD$于点$E$，交$AC$于点$F$。(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作图形中，若点$F$恰为线段$AC$的中点，求证：$\triangle ABC$是等腰三角形。请补全下面的证明过程。

证明：因为$BE$是$\angle ABC$的平分线，
所以。
因为$AD// BC$，
所以$\angle AEF=\angle CBF$，
所以，
所以$AB=AE$。
因为$F$为$AC$的中点，
所以$AF=CF$。
在$\triangle AEF$和$\triangle CBF$中，
$\begin{cases}\angle AEF=\angle CBF,\\\angle AFE=\angle CFB,\\AF=CF,\end{cases}$
所以$\triangle AEF\cong\triangle CBF( AAS)$，
所以，
所以$AB=CB$，
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
由此发现一个结论：如果三角形一个内角的平分线又是其对边的中线，那么这个三角形是
。

(1) 作图痕迹如图所示（保留角平分线作图痕迹，标出点E、F）。
(2) $\angle ABF = \angle CBF$；$\angle AEF = \angle ABF$；$AE = CB$；等腰三角形。