【例题】如图,矩形ABCD各顶点的坐标分别为A(-2,1),B(-2,4),C(-6,4),D(-6,1).画出它的一个以原点O为位似中心,位似比为$\frac{1}{2}$的位似图形.

【思路点拨】分两种情形:①外位似(它的位似中心在连接两个对应点的线段之外);②内位似(它的位似中心在连接两个点的对应线段上).
【解答】______
【学法点睛】当位似中心在原点时,位似图形一般有两种情形:外位似和内位似,即对应点在位似中心的同侧和异侧.
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,位似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

1. 如图,五边形ABCDE和五边形A'B'C'D'E'是两个位似图形,且PA= $\frac{3}{2}$PA',则AB:A'B'等于()

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$

D

由于五边形$ABCDE$和五边形$A'B'C'D'E'$是位似图形，根据位似图形的性质，对应边之间的比例是相等的，且这个比例等于对应点到位似中心的距离之比。
已知$PA=\frac{3}{2}PA'$，则$PA:PA' = \frac{3}{2}$。
因为$AB$和$A'B'$是对应边，所以$AB:A'B' = PA:PA' = \frac{3}{2}$。

2. 如图,已知E(-4,2),F(-1,-1),以O为位似中心,按位似比1:2把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标为()

A.(2,-1)或(-2,1)
B.(8,-4)或(-8,4)
C.(2,-1)
D.(8,-4)

A

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
本题中位似比为1:2，已知点E的坐标为(-4,2)，则其对应点E'的坐标为$(-4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})$或$(-4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))$，即(2,-1)或(-2,1)。

3. 如图,在锐角△ABC中,画出正方形DEFG,使D,E落在BC边上,F,G分别落在AC,AB边上.
画法:
①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形$D_1E_1F_1G_1;$
②连接$BF_1$并延长交AC于点F;
③过F点作EF⊥BC,垂足为点E;
④过F点作FG//BC,交AB于点G;
⑤过G点作GD⊥BC,垂足为点D.
阅读以上信息,回答以下问题:
(1)试判断四边形DEFG的形状,并说明理由.
(2)四边形$D_1E_1F_1G_1$和四边形DEFG是否为位似图形?若是,指出位似中心;若不是,说明理由.

(1) 四边形DEFG是正方形。理由：由画法，EF⊥BC，GD⊥BC，∴EF//GD；FG//BC，∴FG//DE，故DEFG是平行四边形。∵EF⊥BC，∴∠FED=90°，为矩形。∵FG//BC，G₁F₁//BC，∴FG//G₁F₁，∴△BGF∽△BG₁F₁，同理△BGD∽△BG₁D₁。∵D₁E₁F₁G₁是正方形，∴G₁F₁=G₁D₁，相似比相等，∴GF=GD，故矩形DEFG是正方形。
(2) 是位似图形，位似中心是点B。理由：两图形均为正方形，相似比为k；对应边D₁E₁//DE，G₁F₁//GF，G₁D₁//GD，F₁E₁//FE；对应顶点连线G₁G、F₁F、D₁D、E₁E相交于点B，故是位似图形，位似中心为点B。