10. (18分)如图,已知$C为线段AB$上一点,$AC = 12$,$CB= 8$,$D$,$E分别是AC$,$AB$的中点.
(1) 求$AD$,$BE$的长度；
(2) 求$DE$的长度.

【解析】：本题主要考查线段中点的性质及线段长度的计算。对于（1），根据中点定义，已知线段长度求中点与端点的距离；对于（2），可通过线段之间的关系，用已知线段长度表示出$DE$的长度。
(1)求$AD$的长度：
已知$D$是$AC$的中点，根据线段中点的定义：若点$D$为线段$AC$的中点，则$AD = \frac{1}{2}AC$。
已知$AC = 12$，将其代入上式可得$AD=\frac{1}{2}×12 = 6$。
求$BE$的长度：
已知$E$是$AB$的中点，要求$BE$的长度，需先求出$AB$的长度。
因为$AB=AC + CB$，已知$AC = 12$，$CB = 8$，所以$AB=12 + 8=20$。
又因为$E$是$AB$的中点，根据线段中点的定义可得$BE=\frac{1}{2}AB$。
将$AB = 20$代入可得$BE=\frac{1}{2}×20 = 10$。
(2)求$DE$的长度：
由图可知$DE=AE - AD$，已经求得$AD = 6$，所以需要先求出$AE$的长度。
因为$E$是$AB$的中点，$AB = 20$，所以$AE=\frac{1}{2}AB = 10$。
将$AE = 10$，$AD = 6$代入$DE=AE - AD$可得$DE=10 - 6 = 4$。
【答案】：
(1)$AD$的长度为$6$，$BE$的长度为$10$；
(2)$DE$的长度为$4$。

11. (22分)如图,直线$CD$,$EF交于点O$,$OA$,$OB分别平分\angle COE$,$\angle DOE$,且$\angle 1+\angle 2= 90^\circ$.
(1) 判断$AB$,$CD$是否平行,并说明理由；
(2) 若$\angle 2:\angle 3= 2:5$,求$\angle 4$的度数.

(1) AB//CD，理由如下：
∵OA，OB分别平分∠COE，∠DOE，
∴∠1=∠AOE=1/2∠COE，∠2=∠BOE=1/2∠DOE，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠1+∠BOE=1/2(∠COE+∠DOE)=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2=∠BOE，
∴∠1+∠BOE=∠1+∠2=90°，
∴∠ABO=∠2，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
(2) 设∠2=2x，∠3=5x，
∵∠2+∠3=180°，
∴2x+5x=180°，解得x=180°/7，
∴∠2=2x=360°/7，
∵OB平分∠DOE，
∴∠DOE=2∠2=720°/7，
∵∠COE=180°-∠DOE=180°-720°/7=540°/7，
∵OA平分∠COE，
∴∠1=1/2∠COE=270°/7，
∵AB//CD，
∴∠4=∠1=270°/7。

12. (24分)以直线$AB上一点O为端点作射线OC$,使$\angle BOC = 30^\circ$,将三角板的直角顶点放在$O$处,即$\angle DOE= 90^\circ$.
(1) 如图①,若三角板$DOE的一边OE放在射线OA$上,则$\angle COD= $.
(2) 如图②,将三角板$DOE绕点O$按顺时针方向转动到某个位置.
① 若$OE恰好平分\angle AOC$,则$\angle COD= $；
② 若$OD在\angle BOC$内部,请直接写出$\angle BOD与\angle COE$的数量关系：.
(3) 将三角板$DOE绕点O$按顺时针方向转动(当$OD与OB$重合时停止)的过程中,恰好有$\angle COD= \frac{1}{5}\angle AOE$,求此时$\angle BOD$的度数.

(1) $120°$
(2) ① $15°$ ② $\angle COE - \angle BOD = 60°$
(3) 设$\angle BOD = x$，则$\angle COD = 30° - x$，$\angle AOE = 5(30° - x)$。
$\because \angle AOE + \angle DOE + \angle BOD = 180°$，$\angle DOE = 90°$，
$\therefore 5(30° - x) + 90° + x = 180°$，
解得$x = 15°$。
答：$\angle BOD$的度数为$15°$。