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22. 市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如下表(单位：环)：
|运动员|第1次|第2次|第3次|第4次|第5次|第6次|
|甲|10|9|8|8|10|9|
|乙|10|10|8|10|7|9|
(1) 根据表格中的数据,分别计算出甲、乙两人的平均成绩.
(2) 分别计算甲、乙六次测试成绩的方差.
(3) 如果从“射击成绩和发挥稳定”的角度考虑,根据(1)、(2)计算的结果,你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由.
|运动员|第1次|第2次|第3次|第4次|第5次|第6次|
|甲|10|9|8|8|10|9|
|乙|10|10|8|10|7|9|
(1) 根据表格中的数据,分别计算出甲、乙两人的平均成绩.
(2) 分别计算甲、乙六次测试成绩的方差.
(3) 如果从“射击成绩和发挥稳定”的角度考虑,根据(1)、(2)计算的结果,你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由.
答案
【解析】：本题主要考查平均数和方差的计算，以及利用它们进行决策。
（1）计算甲、乙两人的平均成绩：
平均成绩的计算公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}$（其中$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为数据，$n$为数据的个数）。
甲的平均成绩：
将甲六次测试成绩相加：$10 + 9 + 8 + 8 + 10 + 9 = 54$（环）。
测试次数$n = 6$，根据平均成绩公式可得甲的平均成绩$\overline{x}_{甲}=\frac{54}{6}=9$（环）。
乙的平均成绩：
将乙六次测试成绩相加：$10 + 10 + 8 + 10 + 7 + 9 = 54$（环）。
测试次数$n = 6$，根据平均成绩公式可得乙的平均成绩$\overline{x}_{乙}=\frac{54}{6}=9$（环）。
（2）计算甲、乙六次测试成绩的方差：
方差的计算公式为$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots +(x_{n}-\overline{x})^{2}]$（其中$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为数据，$\overline{x}$为平均数，$n$为数据的个数）。
甲的方差：
已知$\overline{x}_{甲}=9$，$n = 6$，根据方差公式计算：
$\;\;\;\;S_{甲}^{2}$
$=\frac{1}{6}[(10 - 9)^{2}+(9 - 9)^{2}+(8 - 9)^{2}+(8 - 9)^{2}+(10 - 9)^{2}+(9 - 9)^{2}]$
$=\frac{1}{6}[1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+0^{2}]$
$=\frac{1}{6}(1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0)$
$=\frac{4}{6}$
$=\frac{2}{3}$
乙的方差：
已知$\overline{x}_{乙}=9$，$n = 6$，根据方差公式计算：
$\;\;\;\;S_{乙}^{2}$
$=\frac{1}{6}[(10 - 9)^{2}+(10 - 9)^{2}+(8 - 9)^{2}+(10 - 9)^{2}+(7 - 9)^{2}+(9 - 9)^{2}]$
$=\frac{1}{6}[1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}+0^{2}]$
$=\frac{1}{6}(1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 0)$
$=\frac{8}{6}$
$=\frac{4}{3}$
（3）从“射击成绩和发挥稳定”的角度考虑，选择参加比赛的运动员：
平均成绩反映了射击水平，方差反映了成绩的稳定性。
甲、乙两人的平均成绩相同，均为$9$环，说明两人的平均射击水平相当。
比较方差，$S_{甲}^{2}=\frac{2}{3}$，$S_{乙}^{2}=\frac{4}{3}$，因为$\frac{2}{3}＜\frac{4}{3}$，即$S_{甲}^{2}＜S_{乙}^{2}$，方差越小说明成绩越稳定，所以甲的成绩比乙更稳定。
因此，推荐甲参加省比赛更合适，理由是甲、乙平均成绩相同，但甲的方差小，成绩更稳定。
【答案】：
(1) $\overline{x}_{甲}=9$（环），$\overline{x}_{乙}=9$（环）；
(2) $S_{甲}^{2}=\frac{2}{3}$，$S_{乙}^{2}=\frac{4}{3}$；
(3) 推荐甲参加省比赛更合适，理由是甲、乙平均成绩相同，但甲的方差小，成绩更稳定。
（1）计算甲、乙两人的平均成绩：
平均成绩的计算公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}$（其中$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为数据，$n$为数据的个数）。
甲的平均成绩：
将甲六次测试成绩相加：$10 + 9 + 8 + 8 + 10 + 9 = 54$（环）。
测试次数$n = 6$，根据平均成绩公式可得甲的平均成绩$\overline{x}_{甲}=\frac{54}{6}=9$（环）。
乙的平均成绩：
将乙六次测试成绩相加：$10 + 10 + 8 + 10 + 7 + 9 = 54$（环）。
测试次数$n = 6$，根据平均成绩公式可得乙的平均成绩$\overline{x}_{乙}=\frac{54}{6}=9$（环）。
（2）计算甲、乙六次测试成绩的方差：
方差的计算公式为$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots +(x_{n}-\overline{x})^{2}]$（其中$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为数据，$\overline{x}$为平均数，$n$为数据的个数）。
甲的方差：
已知$\overline{x}_{甲}=9$，$n = 6$，根据方差公式计算：
$\;\;\;\;S_{甲}^{2}$
$=\frac{1}{6}[(10 - 9)^{2}+(9 - 9)^{2}+(8 - 9)^{2}+(8 - 9)^{2}+(10 - 9)^{2}+(9 - 9)^{2}]$
$=\frac{1}{6}[1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+0^{2}]$
$=\frac{1}{6}(1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0)$
$=\frac{4}{6}$
$=\frac{2}{3}$
乙的方差：
已知$\overline{x}_{乙}=9$，$n = 6$，根据方差公式计算：
$\;\;\;\;S_{乙}^{2}$
$=\frac{1}{6}[(10 - 9)^{2}+(10 - 9)^{2}+(8 - 9)^{2}+(10 - 9)^{2}+(7 - 9)^{2}+(9 - 9)^{2}]$
$=\frac{1}{6}[1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}+0^{2}]$
$=\frac{1}{6}(1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 0)$
$=\frac{8}{6}$
$=\frac{4}{3}$
（3）从“射击成绩和发挥稳定”的角度考虑，选择参加比赛的运动员：
平均成绩反映了射击水平，方差反映了成绩的稳定性。
甲、乙两人的平均成绩相同，均为$9$环，说明两人的平均射击水平相当。
比较方差，$S_{甲}^{2}=\frac{2}{3}$，$S_{乙}^{2}=\frac{4}{3}$，因为$\frac{2}{3}＜\frac{4}{3}$，即$S_{甲}^{2}＜S_{乙}^{2}$，方差越小说明成绩越稳定，所以甲的成绩比乙更稳定。
因此，推荐甲参加省比赛更合适，理由是甲、乙平均成绩相同，但甲的方差小，成绩更稳定。
【答案】：
(1) $\overline{x}_{甲}=9$（环），$\overline{x}_{乙}=9$（环）；
(2) $S_{甲}^{2}=\frac{2}{3}$，$S_{乙}^{2}=\frac{4}{3}$；
(3) 推荐甲参加省比赛更合适，理由是甲、乙平均成绩相同，但甲的方差小，成绩更稳定。
23. 如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过格点A、B、C.
(1) 找出该圆弧所在圆的圆心O的位置.
(2) 在(1)的基础上,完成下列问题：
① $\odot O$的半径为
② $\overset{\frown}{ABC}$的长为
③ 试判断直线CD与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
(1) 找出该圆弧所在圆的圆心O的位置.
分别作弦AB、BC的垂直平分线，两线交于点O，点O即为圆心。
(2) 在(1)的基础上,完成下列问题：
① $\odot O$的半径为
$2\sqrt{5}$
(结果保留根号)；② $\overset{\frown}{ABC}$的长为
$2\pi$
(结果保留$\pi$)；③ 试判断直线CD与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
相切。理由：连接OD，由勾股定理得OD=$2\sqrt{5}$，即OD等于半径，且D在直线CD上，故直线CD与$\odot O$相切。
答案
(1) 分别作弦AB、BC的垂直平分线，两线交于点O，点O即为圆心。
(2)①$2\sqrt{5}$
②$2\pi$
③相切。理由：连接OD，由勾股定理得OD=$2\sqrt{5}$，即OD等于半径，且D在直线CD上，故直线CD与$\odot O$相切。
