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10. 小探究：一个圆的半径长$a\ cm(a＞0)$,它的周长是(
$2\pi a$
)$cm$。如果半径增加2 cm,那么它的周长增加($4\pi$
)$cm$。答案
$2\pi a$; $4\pi$
(1)把一个圆分成若干等份,剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于(
圆周长的一半
),宽近似于(圆的半径
)。因为长方形的面积等于(长×宽
),所以圆的面积等于($\pi r^{2}$
)。答案
圆周长的一半；圆的半径；长$×$宽；$\pi r^{2}$。
解析
当一个圆被分成若干等份，每一份近似于一个小扇形，将这些小扇形剪开拼成一个长方形时，长方形的长近似于圆周长的一半，宽近似于圆的半径。
根据长方形的面积公式：面积=长×宽，
在这个特定情况下，长方形的长是圆周长的一半，即$\pi r$（其中r是圆的半径），宽是圆的半径r。
所以，长方形的面积=$\pi r × r=\pi r^{2}$。
由于这个长方形是由圆切分并重新拼接而成的，所以它们的面积是相等的。
因此，圆的面积也等于$\pi r^{2}$。
根据长方形的面积公式：面积=长×宽，
在这个特定情况下，长方形的长是圆周长的一半，即$\pi r$（其中r是圆的半径），宽是圆的半径r。
所以，长方形的面积=$\pi r × r=\pi r^{2}$。
由于这个长方形是由圆切分并重新拼接而成的，所以它们的面积是相等的。
因此，圆的面积也等于$\pi r^{2}$。
(2)某公园有一个圆形“花钟”,平面半径是2 m,它的面积是(
12.56
)m²。答案
12.56
解析
根据圆的面积公式S=πr²，其中r为圆的半径，π取3.14。题目中给出的半径r=2米，所以面积S=3.14×2²=3.14×4=12.56平方米。
(3)一个圆形水池底面直径是6 m,则这个水池的占地面积是(
28.26
)$m^2$。答案
28.26
解析
1. 首先明确圆的面积公式：$S = \pi r^2$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径，$\pi$通常取$3.14$。
2. 已知圆形水池底面直径是$6m$，根据半径与直径的关系$r=\frac{d}{2}$（$d$为直径），可得水池底面半径$r = \frac{6}{2}=3m$。
3. 将半径$r = 3m$代入圆的面积公式$S=\pi r^2$，$\pi$取$3.14$，则$S = 3.14×3^2=3.14×9 = 28.26m^2$。
2. 已知圆形水池底面直径是$6m$，根据半径与直径的关系$r=\frac{d}{2}$（$d$为直径），可得水池底面半径$r = \frac{6}{2}=3m$。
3. 将半径$r = 3m$代入圆的面积公式$S=\pi r^2$，$\pi$取$3.14$，则$S = 3.14×3^2=3.14×9 = 28.26m^2$。
(4)圆的周长是25.12 dm,它的面积是(
50.24
)$dm^2$。答案
已知圆的周长$C = 25.12\ dm$，根据圆的周长公式$C=2\pi r$（$\pi$取$3.14$），可得半径$r = C÷(2\pi)=25.12÷(2×3.14)=25.12÷6.28 = 4\ dm$。
再根据圆的面积公式$S=\pi r^{2}$，可得面积$S = 3.14×4^{2}=3.14×16 = 50.24\ dm^2$。
$50.24$
再根据圆的面积公式$S=\pi r^{2}$，可得面积$S = 3.14×4^{2}=3.14×16 = 50.24\ dm^2$。
$50.24$
(5)甲圆和乙圆的半径之比是3∶1,甲圆周长是乙圆周长的(
3
),甲圆面积是乙圆面积的(9
)。答案
3；9
解析
1. 首先明确圆的周长和面积公式：
圆的周长公式$C = 2\pi r$（$C$表示周长，$r$表示半径）。
圆的面积公式$S=\pi r^{2}$（$S$表示面积，$r$表示半径）。
2. 设甲圆半径为$r_1$，乙圆半径为$r_2$，已知$r_1:r_2 = 3:1$，即$r_1 = 3r_2$。
3. 计算甲圆周长与乙圆周长的关系：
甲圆周长$C_1 = 2\pi r_1$，乙圆周长$C_2 = 2\pi r_2$。
则$\frac{C_1}{C_2}=\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{r_1}{r_2}$，因为$r_1 = 3r_2$，所以$\frac{C_1}{C_2}=3$，即甲圆周长是乙圆周长的$3$倍。
4. 计算甲圆面积与乙圆面积的关系：
甲圆面积$S_1=\pi r_1^{2}$，乙圆面积$S_2=\pi r_2^{2}$。
则$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi r_1^{2}}{\pi r_2^{2}}=\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}$，把$r_1 = 3r_2$代入可得$\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}=\frac{(3r_2)^{2}}{r_2^{2}}=\frac{9r_2^{2}}{r_2^{2}} = 9$，即甲圆面积是乙圆面积的$9$倍。
圆的周长公式$C = 2\pi r$（$C$表示周长，$r$表示半径）。
圆的面积公式$S=\pi r^{2}$（$S$表示面积，$r$表示半径）。
2. 设甲圆半径为$r_1$，乙圆半径为$r_2$，已知$r_1:r_2 = 3:1$，即$r_1 = 3r_2$。
3. 计算甲圆周长与乙圆周长的关系：
甲圆周长$C_1 = 2\pi r_1$，乙圆周长$C_2 = 2\pi r_2$。
则$\frac{C_1}{C_2}=\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{r_1}{r_2}$，因为$r_1 = 3r_2$，所以$\frac{C_1}{C_2}=3$，即甲圆周长是乙圆周长的$3$倍。
4. 计算甲圆面积与乙圆面积的关系：
甲圆面积$S_1=\pi r_1^{2}$，乙圆面积$S_2=\pi r_2^{2}$。
则$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi r_1^{2}}{\pi r_2^{2}}=\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}$，把$r_1 = 3r_2$代入可得$\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}=\frac{(3r_2)^{2}}{r_2^{2}}=\frac{9r_2^{2}}{r_2^{2}} = 9$，即甲圆面积是乙圆面积的$9$倍。
(6)一个圆的半径是8 cm,这个圆的面积的3/8是(
24π
)cm²。答案
24π
解析
首先根据圆的面积公式 $S=\pi r^2$ 计算出整个圆的面积，已知半径 $r=8 cm$，则圆的面积为：$S=\pi × 8^2 = 64\pi cm^2$。然后计算圆的面积的$\frac{3}{8}$，即：$\frac{3}{8} × 64\pi = 24\pi cm^2$。
(7)圆的半径由6 cm增加到9 cm,圆的面积增加了(
141.3
$)cm^2。$答案
141.3
解析
首先根据圆的面积公式$S = \pi r^2$，分别计算出半径为$6cm$和$9cm$时圆的面积，再用半径为$9cm$时圆的面积减去半径为$6cm$时圆的面积，即可求出增加的面积。
当$r = 6cm$时，$S_1=\pi×6^2 = 36\pi cm^2$；
当$r = 9cm$时，$S_2=\pi×9^2 = 81\pi cm^2$；
增加的面积$\Delta S=S_2 - S_1=81\pi - 36\pi = 45\pi cm^2$，把$\pi$取近似值$3.14$，$45×3.14 = 141.3cm^2$。
当$r = 6cm$时，$S_1=\pi×6^2 = 36\pi cm^2$；
当$r = 9cm$时，$S_2=\pi×9^2 = 81\pi cm^2$；
增加的面积$\Delta S=S_2 - S_1=81\pi - 36\pi = 45\pi cm^2$，把$\pi$取近似值$3.14$，$45×3.14 = 141.3cm^2$。
(8)要在一个长8 cm、宽6 cm的长方形纸板里剪出一个最大的圆,这个圆的面积是(
28.26
)cm²。答案
28.26
解析
1. 首先明确在长方形中剪出最大圆的特点：
在一个长方形纸板里剪出一个最大的圆，这个圆的直径最大只能等于长方形的宽。已知长方形宽$6cm$，所以圆的直径$d = 6cm$，根据半径与直径的关系$r=\frac{d}{2}$，可得圆的半径$r=\frac{6}{2}=3cm$。
2. 然后根据圆的面积公式计算圆的面积：
圆的面积公式为$S = \pi r^{2}$，$\pi$通常取$3.14$，把$r = 3cm$代入公式，可得$S=3.14×3^{2}=3.14×9 = 28.26cm^{2}$。
在一个长方形纸板里剪出一个最大的圆，这个圆的直径最大只能等于长方形的宽。已知长方形宽$6cm$，所以圆的直径$d = 6cm$，根据半径与直径的关系$r=\frac{d}{2}$，可得圆的半径$r=\frac{6}{2}=3cm$。
2. 然后根据圆的面积公式计算圆的面积：
圆的面积公式为$S = \pi r^{2}$，$\pi$通常取$3.14$，把$r = 3cm$代入公式，可得$S=3.14×3^{2}=3.14×9 = 28.26cm^{2}$。
(9)要在底面半径是12 cm的圆柱形水桶外面打上一个铁丝箍,接头部分是8 cm,须用铁丝(
83.36
)cm。答案
83.36（填写数字即可）
解析
先计算圆柱底面的周长，再加上接头部分的长度。
底面周长公式为 $C = 2\pi r$，其中 $r = 12 cm$。
所以底面周长 $C = 2 × 3.14 × 12 = 75.36 cm$。
加上接头部分8 cm，
总铁丝长度为 $75.36 + 8 = 83.36 cm$。
底面周长公式为 $C = 2\pi r$，其中 $r = 12 cm$。
所以底面周长 $C = 2 × 3.14 × 12 = 75.36 cm$。
加上接头部分8 cm，
总铁丝长度为 $75.36 + 8 = 83.36 cm$。
(10)用圆规画一个圆,如果圆规两脚之间的距离是7 cm,画出的这个圆的周长是(
43.96
)cm。这个圆的面积是(153.86
)$cm^2$。答案
43.96；153.86
解析
利用圆的周长公式 $C = 2\pi r$，其中 $r$ 是圆的半径。
利用圆的面积公式 $S = \pi r^2$，其中 $r$ 是圆的半径。
题目中给出圆规两脚间的距离为7 cm，这个距离就是圆的半径 $r$。
所以，$r=7$cm，
将$r$值代入公式：
圆的周长：$C = 2\pi r = 2 × \pi × 7 = 14\pi$ (cm)，
由于$\pi$约等于3.14，所以$C\approx 43.96$ (cm)，
圆的面积：$S = \pi r^2 = \pi × 7^2 = 49\pi (cm^2)$，
由于$\pi$约等于3.14，所以$S\approx 153.86(cm^2)$。
利用圆的面积公式 $S = \pi r^2$，其中 $r$ 是圆的半径。
题目中给出圆规两脚间的距离为7 cm，这个距离就是圆的半径 $r$。
所以，$r=7$cm，
将$r$值代入公式：
圆的周长：$C = 2\pi r = 2 × \pi × 7 = 14\pi$ (cm)，
由于$\pi$约等于3.14，所以$C\approx 43.96$ (cm)，
圆的面积：$S = \pi r^2 = \pi × 7^2 = 49\pi (cm^2)$，
由于$\pi$约等于3.14，所以$S\approx 153.86(cm^2)$。
(11)有大小两个圆,大圆直径是小圆半径的4倍,小圆与大圆周长的比是(
1:2
),小圆与大圆面积的比是(1:4
)。答案
设小圆半径为$r$，则小圆直径为$2r$。
因为大圆直径是小圆半径的4倍，所以大圆直径为$4r$，大圆半径为$4r÷2 = 2r$。
小圆周长：$C_小=2\pi r$，大圆周长：$C_大=2\pi×2r = 4\pi r$，小圆与大圆周长的比是$2\pi r:4\pi r = 1:2$。
小圆面积：$S_小=\pi r^2$，大圆面积：$S_大=\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$，小圆与大圆面积的比是$\pi r^2:4\pi r^2 = 1:4$。
1:2；1:4
因为大圆直径是小圆半径的4倍，所以大圆直径为$4r$，大圆半径为$4r÷2 = 2r$。
小圆周长：$C_小=2\pi r$，大圆周长：$C_大=2\pi×2r = 4\pi r$，小圆与大圆周长的比是$2\pi r:4\pi r = 1:2$。
小圆面积：$S_小=\pi r^2$，大圆面积：$S_大=\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$，小圆与大圆面积的比是$\pi r^2:4\pi r^2 = 1:4$。
1:2；1:4
2. 完成下表。
|半径|3 cm|
|直径|
|面积|
|半径|3 cm|
6 m
|10 dm|1 cm
|0.4 dm
||直径|
6 cm
|12 m|20 dm
|2 cm|0.8 dm||面积|
28.26 cm²
|113.04 m²
|314 dm²
|3.14 cm²
|0.5024 dm²
|答案
|半径|3 cm|6 m|10 dm|1 cm|0.4 dm|
|直径|6 cm|12 m|20 dm|2 cm|0.8 dm|
|面积|28.26 cm²|113.04 m²|314 dm²|3.14 cm²|0.5024 dm²|
|直径|6 cm|12 m|20 dm|2 cm|0.8 dm|
|面积|28.26 cm²|113.04 m²|314 dm²|3.14 cm²|0.5024 dm²|
