19. 如图所示,在$\odot O$中,弦$AB与弦CD的延长线相交于点P$.
(1)求证：$\triangle PBD\backsim\triangle PCA$.
(2)若$AB = 8$,$PB = 4$,$PD = 6$,求弦$CD$的长.

【解析】：
(1)本题可根据圆周角定理的推论得到角的关系，再结合公共角，利用相似三角形的判定定理来证明$\triangle PBD\backsim\triangle PCA$。
圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在$\odot O$中，$\angle A$和$\angle D$都是弧$BC$所对的圆周角，所以$\angle A = \angle D$；
$\angle P$是$\triangle PBD$和$\triangle PCA$的公共角，即$\angle P = \angle P$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle PBD\backsim\triangle PCA$。
(2)本题可根据相似三角形的性质得到对应边成比例，进而求出$PC$的长度，最后求出弦$CD$的长。
相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。
【答案】：
(1)证明：
∵$\angle A$和$\angle D$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$\angle A = \angle D$，
又∵$\angle P = \angle P$，
∴$\triangle PBD\backsim\triangle PCA$。
(2)解：
∵$\triangle PBD\backsim\triangle PCA$，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{PD}{PA}$，
已知$AB = 8$，$PB = 4$，则$PA = PB + AB = 4 + 8 = 12$，
又$PD = 6$，代入$\frac{PB}{PC}=\frac{PD}{PA}$可得：
$\frac{4}{PC}=\frac{6}{12}$，
交叉相乘得：$6PC = 4×12$，
即$6PC = 48$，
解得$PC = 8$，
因为$CD = PC - PD$，$PC = 8$，$PD = 6$，
所以$CD = 8 - 6 = 2$。
综上，弦$CD$的长为$2$。

20. 如图所示,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$,$F分别在边AB$,$AC$,$BC$上,连结$DE$,$EF$. 已知四边形$BFED$是平行四边形,$\frac{DE}{BC}= \frac{1}{4}$.
(1)若$AB = 8$,求线段$AD$的长.
(2)若$\triangle ADE$的面积为1,求$□ BFED$的面积.

(1)解：∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE//BF，即DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，
∵AB=8，
∴$AD=8×\frac{1}{4}=2$。
(2)解：∵△ADE∽△ABC，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，
∵$S_{\triangle ADE}=1$，
∴$S_{\triangle ABC}=16$，
∵DE//BC，四边形BFED是平行四边形，
∴DE=BF，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{1}{4}$，则$\frac{FC}{BC}=\frac{3}{4}$，
∵EF//AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴$\frac{S_{\triangle EFC}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{FC}{BC})^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
∴$S_{\triangle EFC}=16×\frac{9}{16}=9$，
∴$S_{□ BFED}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle EFC}=16 - 1 - 9=6$。