1. 如图,在半径为 5 的⊙O 中,AB,CD 是互相垂直的两条弦,垂足为 P,且 AB = CD = 8,求 OP 的长。

$3\sqrt{2}$

过点$O$作$OE \perp AB$于$E$，$OF \perp CD$于$F$，连接$OA$，$OD$。
因为$OE \perp AB$，$AB = 8$，所以$AE=\frac{1}{2}AB = 4$。
在$Rt\triangle AOE$中，$OA = 5$，$AE = 4$，由勾股定理得$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$。
同理，$OF = 3$。
因为$AB \perp CD$，$OE \perp AB$，$OF \perp CD$，所以四边形$OEPF$是矩形，所以$EP = OF = 3$，$FP = OE = 3$。
在$Rt\triangle OEP$中，$OE = 3$，$EP = 3$，由勾股定理得$OP=\sqrt{OE^{2}+EP^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$。
$3\sqrt{2}$

2. 如图,⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,AE = 2,EB = 6,∠DEB = 30°,求弦 CD 的长。

$2\sqrt{15}$

过点$O$作$OF \perp CD$于点$F$，连接$OD$。
$AB = AE + EB = 2 + 6 = 8$，则$OA = OB = OD = \frac{AB}{2} = 4$。
$OE = OB - EB = 4 - 6 = -2$（取绝对值$OE = 2$）。
在$Rt\triangle OEF$中，$\angle DEB = 30°$，$OE = 2$，$OF = OE \cdot \sin 30° = 2 × \frac{1}{2} = 1$。
在$Rt\triangle ODF$中，$OD = 4$，$OF = 1$，$DF = \sqrt{OD^2 - OF^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$。
因为$OF \perp CD$，所以$CD = 2DF = 2\sqrt{15}$。
$2\sqrt{15}$

3. 如图,点 A,B,C,D 分别是⊙O 上的四点,∠ABD = 20°,BD 是⊙O 的直径,则∠ACB = 。

$70^{\circ}$

连接AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=20°，
∴∠ADB=90°-∠ABD=70°，
∵∠ACB与∠ADB所对的弧均为$\overset{\frown}{AB}$，
∴∠ACB=∠ADB=70°。
$70^{\circ}$

4. 如图,△ABC 中,AB = AC,∠A = 45°,AB 为⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点 E,连接 BE。
(1) 求∠EBC 的度数；
(2) 求证：BD = CD。

(1)$22.5^{\circ}$
(2)略