登录
7. 已知$\sqrt{a-9}+|b-4|= 0$,则$\dfrac{a}{b}$的平方根是(
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\pm \dfrac{3}{2}$
C.$\pm \dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{3}{4}$
B
)A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\pm \dfrac{3}{2}$
C.$\pm \dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
B
解析
由题意，根据非负数的性质，有：
$\sqrt{a - 9} \geq 0$，$|b - 4| \geq 0$。
因为$\sqrt{a - 9} + |b - 4| = 0$，所以可得：
$\sqrt{a - 9} = 0$，$|b - 4| = 0$。
所以$a - 9 = 0$，$b - 4 = 0$，
解得$a = 9$，$b = 4$。
将$a$和$b$的值代入$\frac{a}{b}$，得到：
$\frac{a}{b} = \frac{9}{4}$。
根据平方根的定义，$\frac{9}{4}$的平方根是$\pm \frac{3}{2}$。
$\sqrt{a - 9} \geq 0$，$|b - 4| \geq 0$。
因为$\sqrt{a - 9} + |b - 4| = 0$，所以可得：
$\sqrt{a - 9} = 0$，$|b - 4| = 0$。
所以$a - 9 = 0$，$b - 4 = 0$，
解得$a = 9$，$b = 4$。
将$a$和$b$的值代入$\frac{a}{b}$，得到：
$\frac{a}{b} = \frac{9}{4}$。
根据平方根的定义，$\frac{9}{4}$的平方根是$\pm \frac{3}{2}$。
8. 若$a^{2}= 9$,$\sqrt[3]{b}= -2$,则$a+b$的值为(
A.$-5$
B.$-11$
C.$-5或-11$
D.$\pm 5或\pm 11$
C
)A.$-5$
B.$-11$
C.$-5或-11$
D.$\pm 5或\pm 11$
答案
C
解析
由 $a^{2} = 9$，根据平方根的定义，可得 $a = \pm 3$。
由 $\sqrt[3]{b} = -2$，根据立方根的定义，可得 $b = (-2)^{3} = -8$。
当 $a = 3$ 时，$a + b = 3 + (-8) = -5$。
当 $a = -3$ 时，$a + b = -3 + (-8) = -11$。
所以 $a + b$ 的可能值为 $-5$ 或 $-11$。
由 $\sqrt[3]{b} = -2$，根据立方根的定义，可得 $b = (-2)^{3} = -8$。
当 $a = 3$ 时，$a + b = 3 + (-8) = -5$。
当 $a = -3$ 时，$a + b = -3 + (-8) = -11$。
所以 $a + b$ 的可能值为 $-5$ 或 $-11$。
9. 设$n$为正整数,且$n\lt \sqrt{41}\lt n+1$,则$n$的值为(
A.4
B.5
C.6
D.7
C
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
C
解析
因为$6^2 = 36$，$7^2 = 49$，且$36\lt41\lt49$，所以$\sqrt{36}\lt\sqrt{41}\lt\sqrt{49}$，即$6\lt\sqrt{41}\lt7$。又因为$n$为正整数，且$n\lt\sqrt{41}\lt n + 1$，所以$n = 6$。
10. 已知$x-2的平方根是\pm 2$,$2x+y+7$的立方根是 3,则$x+y$的值为(
A.11
B.12
C.13
D.14
D
)A.11
B.12
C.13
D.14
答案
D
解析
因为$x - 2$的平方根是$\pm 2$，所以$x - 2 = (\pm 2)^2 = 4$，解得$x = 6$。因为$2x + y + 7$的立方根是$3$，所以$2x + y + 7 = 3^3 = 27$。将$x = 6$代入，得$2×6 + y + 7 = 27$，即$12 + y + 7 = 27$，解得$y = 8$。则$x + y = 6 + 8 = 14$。
11. 已知实数$x$,$y满足y= \dfrac{\sqrt{x^{2}-16}+\sqrt{16-x^{2}}+24}{x-4}$,则$\sqrt{xy+13}$的值为(
A.0
B.
C.$\sqrt{13}$
D.5
D
)A.0
B.
C.$\sqrt{13}$
D.5
答案
D
解析
根据题意有：$y= \dfrac{\sqrt{x^{2}-16}+\sqrt{16-x^{2}}+24}{x-4}$，
需要保证分母不为0，即$x\neq 4$，
同时，根号下的表达式必须非负，所以有：
$x^{2} - 16 \geq 0$，
$16 - x^{2} \geq 0$，
解这两个不等式，得到：
$x^{2} \geq 16$ 和 $x^{2} \leq 16$，
这意味着 $x^{2} = 16$，
所以，$x = \pm 4$，
但由于 $x \neq 4$，所以 $x = -4$，
将 $x = -4$ 代入原式，得到：
$y = \frac{0 + 0 + 24}{-4 - 4} = \frac{24}{-8} = -3$，
最后，计算 $\sqrt{xy + 13}$：
$\sqrt{xy + 13} = \sqrt{(-4) × (-3) + 13} = \sqrt{12 + 13} = \sqrt{25} = 5$。
需要保证分母不为0，即$x\neq 4$，
同时，根号下的表达式必须非负，所以有：
$x^{2} - 16 \geq 0$，
$16 - x^{2} \geq 0$，
解这两个不等式，得到：
$x^{2} \geq 16$ 和 $x^{2} \leq 16$，
这意味着 $x^{2} = 16$，
所以，$x = \pm 4$，
但由于 $x \neq 4$，所以 $x = -4$，
将 $x = -4$ 代入原式，得到：
$y = \frac{0 + 0 + 24}{-4 - 4} = \frac{24}{-8} = -3$，
最后，计算 $\sqrt{xy + 13}$：
$\sqrt{xy + 13} = \sqrt{(-4) × (-3) + 13} = \sqrt{12 + 13} = \sqrt{25} = 5$。
12. 已知$\min \{a,b,c\}$表示取三个数中最小的那个数。例如$\min \{| - 2|,(-2)^{2},(-2)^{3}\}= -8$。当$\min \{\sqrt{x},x^{2},x\}= \dfrac{1}{16}$时,$x$的值为(
A.$\dfrac{1}{16}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
C
)A.$\dfrac{1}{16}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
C
解析
分情况讨论：
1. 若最小数为$x^2$，则$x^2 = \frac{1}{16}$，解得$x = \frac{1}{4}$（$x＞0$）。此时$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$，$x = \frac{1}{4}$，三个数为$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，最小数为$\frac{1}{16}$，符合题意。
2. 若最小数为$\sqrt{x}$，则$\sqrt{x} = \frac{1}{16}$，解得$x = \frac{1}{256}$。此时$x^2 = (\frac{1}{256})^2 = \frac{1}{65536} ＜ \frac{1}{16}$，与最小数为$\sqrt{x}$矛盾，舍去。
3. 若最小数为$x$，则$x = \frac{1}{16}$。此时$x^2 = (\frac{1}{16})^2 = \frac{1}{256} ＜ \frac{1}{16}$，与最小数为$x$矛盾，舍去。
综上，$x = \frac{1}{4}$。
1. 若最小数为$x^2$，则$x^2 = \frac{1}{16}$，解得$x = \frac{1}{4}$（$x＞0$）。此时$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$，$x = \frac{1}{4}$，三个数为$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，最小数为$\frac{1}{16}$，符合题意。
2. 若最小数为$\sqrt{x}$，则$\sqrt{x} = \frac{1}{16}$，解得$x = \frac{1}{256}$。此时$x^2 = (\frac{1}{256})^2 = \frac{1}{65536} ＜ \frac{1}{16}$，与最小数为$\sqrt{x}$矛盾，舍去。
3. 若最小数为$x$，则$x = \frac{1}{16}$。此时$x^2 = (\frac{1}{16})^2 = \frac{1}{256} ＜ \frac{1}{16}$，与最小数为$x$矛盾，舍去。
综上，$x = \frac{1}{4}$。
13. $\sqrt{6}$的相反数是
$-\sqrt{6}$
；$-\sqrt{7}$的绝对值是$\sqrt{7}$
。答案
$-\sqrt{6}$；$\sqrt{7}$
解析
根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，所以$\sqrt{6}$的相反数是$-\sqrt{6}$；根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$-\sqrt{7}$的绝对值是$\sqrt{7}$。
14. 比较大小：$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
＞
(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)$\dfrac{5}{4}$。答案
$＞$
解析
首先，将两个数进行相减，即：
$\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1) - 5}{4} = \dfrac{2\sqrt{3} - 3}{4}$
为了确定这个差的正负性，比较$2\sqrt{3}$与3的大小。
由于$(2\sqrt{3})^2 = 12$且$3^2 = 9$，
因为$12 ＞ 9$，所以$2\sqrt{3} ＞ 3$。
因此，$\dfrac{2\sqrt{3} - 3}{4} ＞ 0$，
说明$\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} ＞ \dfrac{5}{4}$。
$\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1) - 5}{4} = \dfrac{2\sqrt{3} - 3}{4}$
为了确定这个差的正负性，比较$2\sqrt{3}$与3的大小。
由于$(2\sqrt{3})^2 = 12$且$3^2 = 9$，
因为$12 ＞ 9$，所以$2\sqrt{3} ＞ 3$。
因此，$\dfrac{2\sqrt{3} - 3}{4} ＞ 0$，
说明$\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} ＞ \dfrac{5}{4}$。
15. 一个正方体木块的体积为$1000\mathrm{cm}^{3}$,现要把它锯成 64 个同样大小的小正方体木块,则每个小正方体木块的棱长为
$\frac{5}{2} $（或 2.5）
$\mathrm{cm}$。答案
$\frac{5}{2} $（或 2.5）
解析
原正方体的体积为$1000 cm^3$，
所以原正方体的棱长为$\sqrt[3]{1000} = 10 cm$。
要将原正方体锯成64个同样大小的小正方体，
设小正方体的棱长为$xcm$，
则每个小正方体的体积为$x^3 cm^3$。
因为一共有64个小正方体，
所以$64x^3 = 1000$，
即$x^3 = \frac{1000}{64} = \frac{125}{8}$。
对$\frac{125}{8}$开立方，
得到$x = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \frac{5}{2} $。
所以原正方体的棱长为$\sqrt[3]{1000} = 10 cm$。
要将原正方体锯成64个同样大小的小正方体，
设小正方体的棱长为$xcm$，
则每个小正方体的体积为$x^3 cm^3$。
因为一共有64个小正方体，
所以$64x^3 = 1000$，
即$x^3 = \frac{1000}{64} = \frac{125}{8}$。
对$\frac{125}{8}$开立方，
得到$x = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \frac{5}{2} $。
16. 已知$(2a+b)^{2}与\sqrt{3b+12}$互为相反数,则$b^{a}= $
16
。答案
16
解析
因为$(2a + b)^2$与$\sqrt{3b + 12}$互为相反数，所以$(2a + b)^2 + \sqrt{3b + 12} = 0$。
由于$(2a + b)^2 \geq 0$，$\sqrt{3b + 12} \geq 0$，要使它们的和为$0$，则$\begin{cases}2a + b = 0 \\ 3b + 12 = 0\end{cases}$
由$3b + 12 = 0$，得$3b = -12$，$b = -4$。
将$b = -4$代入$2a + b = 0$，得$2a - 4 = 0$，$2a = 4$，$a = 2$。
所以$b^a = (-4)^2 = 16$。
由于$(2a + b)^2 \geq 0$，$\sqrt{3b + 12} \geq 0$，要使它们的和为$0$，则$\begin{cases}2a + b = 0 \\ 3b + 12 = 0\end{cases}$
由$3b + 12 = 0$，得$3b = -12$，$b = -4$。
将$b = -4$代入$2a + b = 0$，得$2a - 4 = 0$，$2a = 4$，$a = 2$。
所以$b^a = (-4)^2 = 16$。
17. 设$m$,$n分别是\sqrt{2}-1$的整数部分和小数部分,则$2m-n= $
$1 - \sqrt{2}$
。答案
$1 - \sqrt{2}$
解析
因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$0＜\sqrt{2}-1＜1$，则$m=0$，$n=\sqrt{2}-1 - 0=\sqrt{2}-1$，$2m - n=2×0 - (\sqrt{2}-1)=1 - \sqrt{2}$
18. 任何实数$a$,可用$[a]表示不超过a$的最大整数,如$[4]= 4$,$[\sqrt{3}]= 1$。现对 72 进行如下操作：$72\xrightarrow{第一次}[\sqrt{72}]= 8\xrightarrow{第二次}[\sqrt{8}]= 2\xrightarrow{第三次}[\sqrt{2}]= 1$。这样对 72 只需进行 3 次操作即可变为 1,类似地,对 81 只需进行
3
次操作即可变为 1；只需进行 3 次操作即可变为 1 的所有正整数中,最大的是255
。答案
3；255
解析
对81操作：第一次$[\sqrt{81}]=9$，第二次$[\sqrt{9}]=3$，第三次$[\sqrt{3}]=1$，共3次。
设需3次操作变为1的数为$x$，操作过程：$x\xrightarrow{1}[√x]=a\xrightarrow{2}[√a]=b\xrightarrow{3}[√b]=1$。
第三次操作：$[√b]=1\Rightarrow1\leq√b＜2\Rightarrow1\leq b＜4$，$b$最大取3；
第二次操作：$[√a]=3\Rightarrow3\leq√a＜4\Rightarrow9\leq a＜16$，$a$最大取15；
第一次操作：$[√x]=15\Rightarrow15\leq√x＜16\Rightarrow225\leq x＜256$，$x$最大为255。
设需3次操作变为1的数为$x$，操作过程：$x\xrightarrow{1}[√x]=a\xrightarrow{2}[√a]=b\xrightarrow{3}[√b]=1$。
第三次操作：$[√b]=1\Rightarrow1\leq√b＜2\Rightarrow1\leq b＜4$，$b$最大取3；
第二次操作：$[√a]=3\Rightarrow3\leq√a＜4\Rightarrow9\leq a＜16$，$a$最大取15；
第一次操作：$[√x]=15\Rightarrow15\leq√x＜16\Rightarrow225\leq x＜256$，$x$最大为255。
