13. 在平面直角坐标系中,点 $ Q(-2,6) $ 关于 $ y $ 轴对称的点 $ Q' $ 的坐标是 .

(2,6)

关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。点Q(-2,6)的横坐标为-2，其相反数是2，纵坐标为6不变，所以点Q'的坐标是(2,6)。

14. 如图,点 $ O $,$ M $,$ A $,$ B $,$ C $ 在同一平面内. 若规定点 $ A $ 的位置记为 $ (50,20^{\circ}) $,点 $ B $ 的位置记为 $ (30,60^{\circ}) $,则点 $ C $ 的位置应记为 .

【解析】：由题意可知，位置记法为（距离，角度），距离为点到点O的长度，角度为该点与射线OM的夹角。观察图形，点C到O的距离为34，与OM的夹角为20°+60°+110°=190°，故点C的位置记为(34,190°)。
【答案】：(34,190°)

15. 已知点 $ N $ 的坐标为 $ (a,a - 1) $,则点 $ N $ 一定不在第 象限.

二（或者填$2$ ，按照题目要求这里填汉字）

已知点$N(a, a - 1)$，分情况讨论$a$的取值：
当$a\gt1$时，$a\gt0$，$a - 1\gt0$，此时点$N$在第一象限；
当$0\lt a\lt1$时，$a\gt0$，$a - 1\lt0$，此时点$N$在第四象限；
当$a\lt0$时，$a\lt0$，$a - 1\lt0$，此时点$N$在第三象限。
因为横坐标$a$与纵坐标$a - 1$的差为$1$，即纵坐标总比横坐标小$1$，所以点$N$的纵坐标不可能大于横坐标，也就一定不在第二象限。

16. 如图,点 $ A $,$ B $ 的坐标分别为 $ (2,4) $,$ (6,0) $,点 $ P $ 是 $ x $ 轴上一点,且 $ \triangle ABP $ 的面积为 6,则点 $ P $ 的坐标为 ______.

$(3,0)$或$(9,0)$

设点$P$的坐标为$(x,0)$。
因为点$B(6,0)$在$x$轴上，所以$BP = |x - 6|$。
点$A(2,4)$到$x$轴的距离为$4$（即$\triangle ABP$中$BP$边上的高）。
由$\triangle ABP$的面积为$6$，得$\frac{1}{2} × |x - 6| × 4 = 6$，
化简得$2|x - 6| = 6$，即$|x - 6| = 3$，
解得$x - 6 = 3$或$x - 6 = -3$，
所以$x = 9$或$x = 3$。
故点$P$的坐标为$(3,0)$或$(9,0)$。

17. 在平面直角坐标系中,将点 $ A'(-b,-a) $ 称为点 $ A(a,b) $ 的“关联点”. 例如点 $ B'(-2,-1) $ 是点 $ B(1,2) $ 的“关联点”. 如果一个点和它的“关联点”在同一象限内,那么这个点在第 象限.

二或四

设点$A(a,b)$，其关联点为$A'(-b,-a)$。
若点$A$与$A'$在同一象限，则需满足横、纵坐标符号相同。
若$A$在第二象限，则$a＜0$，$b＞0$，此时$A'(-b,-a)$中$-b＜0$，$-a＞0$，$A'$也在第二象限；
若$A$在第四象限，则$a＞0$，$b＜0$，此时$A'(-b,-a)$中$-b＞0$，$-a＜0$，$A'$也在第四象限。
综上，该点在第二或第四象限。

18. 已知平面直角坐标系内一点 $ A(-1,2) $,$ O $ 为坐标原点,点 $ C $ 是 $ y $ 轴上一点,且 $ \triangle AOC $ 是等腰三角形,则点 $ C $ 的坐标是 .

$(0,\sqrt{5})$或$(0,-\sqrt{5})$或$(0,4)$或$(0,\frac{5}{4})$（以多个坐标形式呈现答案）

设点$C$的坐标为$(0,y)$，由于$O$为坐标原点，则$O(0,0)$，已知点$A(-1,2)$。
当$OA = OC$时，因为$OA=\sqrt{(-1 - 0)^2+(2 - 0)^2}=\sqrt{5}$，所以$OC = \sqrt{5}$，则$|y|=\sqrt{5}$，即$y=\pm\sqrt{5}$，此时$C(0,\sqrt{5})$或$C(0,-\sqrt{5})$。
当$OA = AC$时，$AC=\sqrt{(-1 - 0)^2+(2 - y)^2}$，由$OA = AC$可得$\sqrt{(-1 - 0)^2+(2 - 0)^2}=\sqrt{(-1 - 0)^2+(2 - y)^2}$，两边平方得$1 + 4=1+(2 - y)^2$，即$(2 - y)^2 = 4$，$2 - y=\pm2$，解得$y = 0$（与原点重合舍去）或$y = 4$，所以$C(0,4)$。
当$OC = AC$时，$OC = |y|$，$AC=\sqrt{(-1 - 0)^2+(2 - y)^2}$，则$|y|=\sqrt{1+(2 - y)^2}$，两边平方得$y^{2}=1 + 4-4y+y^{2}$，$4y = 5$，解得$y=\frac{5}{4}$，此时$C(0,\frac{5}{4})$。

19. (10 分)如果规定北偏东 $ 30^{\circ} $ 的方向记作 $ 30^{\circ} $,从 $ O $ 点出发沿这个方向走 $ 50\ m $ 记作 50,图中点 $ A $ 记作 $ (30^{\circ},50) $；北偏西 $ 45^{\circ} $ 的方向记作 $ -45^{\circ} $,从 $ O $ 点出发沿着该方向的反方向走 $ 20\ m $ 记作 $ -20 $,图中点 $ B $ 记作 $ (-45^{\circ},-20) $.
(1)$ (-75^{\circ},-15) $,$ (10^{\circ},-25) $ 分别表示什么意义？
(2)在图中标出点 $ C(60^{\circ},-30) $ 和点 $ D(-30^{\circ},40) $.

答案略

(1)$(-75^{\circ},-15)$表示北偏西$75^{\circ}$的方向，从$O$点出发沿着该方向的反方向走$15\ m$；$(10^{\circ},-25)$表示北偏东$10^{\circ}$的方向，从$O$点出发沿着该方向的反方向走$25\ m$。
(2)图略