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6. (★★)如图 24.4 - 2,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,$ \triangle ABC $ 的顶点都在格点上,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $,则顶点 $ A $ 所经过的路径长为【
A.$ 10\pi $
B.$ \dfrac{\sqrt{10}}{3} $
C.$ \dfrac{\sqrt{10}}{3}\pi $
D.$ \pi $
C
】A.$ 10\pi $
B.$ \dfrac{\sqrt{10}}{3} $
C.$ \dfrac{\sqrt{10}}{3}\pi $
D.$ \pi $
答案
C
解析
由网格可知，点A到点C的水平距离为1，垂直距离为3，根据勾股定理得$AC=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$。将$\triangle ABC$绕点C顺时针旋转$60°$，顶点A所经过的路径是以点C为圆心，AC为半径，圆心角为$60°$的弧。根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得路径长为$\frac{60\pi×\sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}}{3}\pi$。
7. (★★)如图 24.4 - 3,四边形 $ OABC $ 是菱形,点 $ B, C $ 在以点 $ O $ 为圆心的 $ \overset{\frown}{EF} $ 上,且 $ \angle 1 = \angle 2 $,若扇形 $ OEF $ 的面积为 $ 3\pi $,则菱形 $ OABC $ 的边长为【
A.$ \dfrac{3}{2} $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
C
】A.$ \dfrac{3}{2} $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
答案
C
解析
设扇形半径为$ r $，菱形边长为$ x $。
∵ 四边形$ OABC $是菱形，∴ $ OA=AB=BC=CO=x $。
∵ 点$ B,C $在以$ O $为圆心的$ \overset{\frown}{EF} $上，∴ $ OC=OB=r $，故$ CO=x=r $，即菱形边长$ x=r $。
在$ \triangle OBC $中，$ OC=BC=r $，$ OB=r $，∴ $ \triangle OBC $为等边三角形，$ \angle COB=60° $。
同理，$ \triangle OAB $为等边三角形，$ \angle AOB=60° $。
∴ $ \angle AOC=\angle AOB+\angle COB=60°+60°=120° $。
∵ $ \angle 1=\angle 2 $，且扇形$ OEF $圆心角$ \angle FOE=\angle 1+\angle AOC+\angle 2 $，由菱形对称性及$ \angle 1=\angle 2 $，得$ \angle FOE=120° $（即$ \angle AOC $为扇形圆心角）。
扇形面积公式：$ \frac{120°}{360°}\pi r^2=3\pi $，即$ \frac{1}{3}\pi r^2=3\pi $，解得$ r^2=9 $，$ r=3 $。
∴ 菱形边长$ x=r=3 $。
∵ 四边形$ OABC $是菱形，∴ $ OA=AB=BC=CO=x $。
∵ 点$ B,C $在以$ O $为圆心的$ \overset{\frown}{EF} $上，∴ $ OC=OB=r $，故$ CO=x=r $，即菱形边长$ x=r $。
在$ \triangle OBC $中，$ OC=BC=r $，$ OB=r $，∴ $ \triangle OBC $为等边三角形，$ \angle COB=60° $。
同理，$ \triangle OAB $为等边三角形，$ \angle AOB=60° $。
∴ $ \angle AOC=\angle AOB+\angle COB=60°+60°=120° $。
∵ $ \angle 1=\angle 2 $，且扇形$ OEF $圆心角$ \angle FOE=\angle 1+\angle AOC+\angle 2 $，由菱形对称性及$ \angle 1=\angle 2 $，得$ \angle FOE=120° $（即$ \angle AOC $为扇形圆心角）。
扇形面积公式：$ \frac{120°}{360°}\pi r^2=3\pi $，即$ \frac{1}{3}\pi r^2=3\pi $，解得$ r^2=9 $，$ r=3 $。
∴ 菱形边长$ x=r=3 $。
8. (★★)如图 24.4 - 4,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 1 $,$ BC = 2 $,以 $ B $ 为圆心,$ BC $ 的长为半径画弧,交 $ AD $ 于点 $ E $,则图中阴影部分的面积为
$\frac{\pi}{3}-1$
。(结果保留 $ \pi $)答案
$\frac{\pi}{3}-1$
解析
在矩形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=2$，$\angle ABC=90°$。以 $B$ 为圆心，$BC$ 为半径画弧交 $AD$ 于 $E$，则 $BE=BC=2$。
在 $Rt\triangle ABE$ 中，$AB=1$，$BE=2$，由勾股定理得 $AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
由 $\cos\angle ABE=\frac{AB}{BE}=\frac{1}{2}$，得 $\angle ABE=60°$，故 $\angle EBC=\angle ABC-\angle ABE=90°-60°=30°=\frac{\pi}{6}$（弧度）。
扇形 $BEC$ 的面积为 $\frac{30°}{360°}×\pi× BC^2=\frac{1}{12}×\pi×2^2=\frac{\pi}{3}$。
$\triangle BEC$ 的面积：以 $BC$ 为底，高为 $AB=1$，面积为 $\frac{1}{2}× BC× AB=\frac{1}{2}×2×1=1$。
阴影部分面积为扇形 $BEC$ 面积减去 $\triangle BEC$ 面积，即 $\frac{\pi}{3}-1$。
在 $Rt\triangle ABE$ 中，$AB=1$，$BE=2$，由勾股定理得 $AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
由 $\cos\angle ABE=\frac{AB}{BE}=\frac{1}{2}$，得 $\angle ABE=60°$，故 $\angle EBC=\angle ABC-\angle ABE=90°-60°=30°=\frac{\pi}{6}$（弧度）。
扇形 $BEC$ 的面积为 $\frac{30°}{360°}×\pi× BC^2=\frac{1}{12}×\pi×2^2=\frac{\pi}{3}$。
$\triangle BEC$ 的面积：以 $BC$ 为底，高为 $AB=1$，面积为 $\frac{1}{2}× BC× AB=\frac{1}{2}×2×1=1$。
阴影部分面积为扇形 $BEC$ 面积减去 $\triangle BEC$ 面积，即 $\frac{\pi}{3}-1$。
9. (★★)如图 24.4 - 5, $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,$ BC = \sqrt{3} $,作 $ \angle ABC $ 的平分线 $ BE $ 交 $ CA $ 于点 $ F $,以点 $ B $ 为圆心,以 $ BF $ 为长作弧,交 $ BA $ 于点 $ G $,则阴影部分的面积为【
A.$ 2\sqrt{3} - \dfrac{\pi}{3} $
B.$ \sqrt{3} - \dfrac{\pi}{6} $
C.$ 2\sqrt{3} - \dfrac{\pi}{6} $
D.$ \sqrt{3} - \dfrac{\pi}{3} $
D
】A.$ 2\sqrt{3} - \dfrac{\pi}{3} $
B.$ \sqrt{3} - \dfrac{\pi}{6} $
C.$ 2\sqrt{3} - \dfrac{\pi}{6} $
D.$ \sqrt{3} - \dfrac{\pi}{3} $
答案
D
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$BC=\sqrt{3}$，则$\angle ABC=60^{\circ}$，斜边$AB=2BC=2\sqrt{3}$，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=3$。
$BE$平分$\angle ABC$，则$\angle ABF=\angle FBC=30^{\circ}$。在$Rt\triangle BCF$中，$\angle FBC=30^{\circ}$，$BC=\sqrt{3}$，
$\because \tan30^{\circ}=\frac{CF}{BC}$，$\therefore CF=BC\cdot\tan30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
$\therefore BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$（半径$BF=2$）。
扇形$BFG$中，圆心角$\angle GBF=30^{\circ}$，半径$BF=2$，其面积为：
$\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\pi\cdot BF^2=\frac{1}{12}\cdot\pi\cdot4=\frac{\pi}{3}$。
$\triangle AFB$中，$AF=AC-CF=3-1=2$，面积为：
$\frac{1}{2}\cdot AF\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
阴影部分面积$=\triangle AFB$面积$-$扇形$BFG$面积$=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$。
$BE$平分$\angle ABC$，则$\angle ABF=\angle FBC=30^{\circ}$。在$Rt\triangle BCF$中，$\angle FBC=30^{\circ}$，$BC=\sqrt{3}$，
$\because \tan30^{\circ}=\frac{CF}{BC}$，$\therefore CF=BC\cdot\tan30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
$\therefore BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$（半径$BF=2$）。
扇形$BFG$中，圆心角$\angle GBF=30^{\circ}$，半径$BF=2$，其面积为：
$\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\pi\cdot BF^2=\frac{1}{12}\cdot\pi\cdot4=\frac{\pi}{3}$。
$\triangle AFB$中，$AF=AC-CF=3-1=2$，面积为：
$\frac{1}{2}\cdot AF\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
阴影部分面积$=\triangle AFB$面积$-$扇形$BFG$面积$=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$。
10. (★★)如图 24.4 - 6,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle BAC = 60^{\circ} $。把 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转 $ 60^{\circ} $后得到 $ \triangle AB'C' $,若 $ AB = 4 $,则线段 $ BC $ 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是【
A.$ \dfrac{2}{3}\pi $
B.$ \dfrac{5}{3}\pi $
C.$ 2\pi $
D.$ 4\pi $
C
】A.$ \dfrac{2}{3}\pi $
B.$ \dfrac{5}{3}\pi $
C.$ 2\pi $
D.$ 4\pi $
答案
C
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle BAC=60^{\circ}$，$AB=4$，则$\angle ABC=30^{\circ}$，故$AC=\frac{1}{2}AB=2$。
$\triangle ABC$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle AB'C'$，则旋转角$\angle BAB'=\angle CAC'=60^{\circ}$，$AB=AB'=4$，$AC=AC'=2$。
$BC$扫过部分面积为扇形$ABB'$与扇形$ACC'$的面积差。
扇形$ABB'$面积：$\frac{60\pi×4^2}{360}=\frac{8\pi}{3}$；
扇形$ACC'$面积：$\frac{60\pi×2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}$；
阴影面积：$\frac{8\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}=2\pi$。
$\triangle ABC$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle AB'C'$，则旋转角$\angle BAB'=\angle CAC'=60^{\circ}$，$AB=AB'=4$，$AC=AC'=2$。
$BC$扫过部分面积为扇形$ABB'$与扇形$ACC'$的面积差。
扇形$ABB'$面积：$\frac{60\pi×4^2}{360}=\frac{8\pi}{3}$；
扇形$ACC'$面积：$\frac{60\pi×2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}$；
阴影面积：$\frac{8\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}=2\pi$。
11. (★★)(2023·广元)如图 24.4 - 7,半径为 5 的扇形 $ AOB $ 中,$ \angle AOB = 90^{\circ} $,$ C $ 是 $ \overset{\frown}{AB} $ 上一点,$ CD \perp OA $,$ CE \perp OB $,垂足分别为 $ D, E $,若 $ CD = CE $,则图中阴影部分面积为【
A.$ \dfrac{25\pi}{16} $
B.$ \dfrac{25\pi}{8} $
C.$ \dfrac{25\pi}{6} $
D.$ \dfrac{25\pi}{4} $
B
】A.$ \dfrac{25\pi}{16} $
B.$ \dfrac{25\pi}{8} $
C.$ \dfrac{25\pi}{6} $
D.$ \dfrac{25\pi}{4} $
答案
B
解析
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，∴四边形CDOE为矩形。又CD=CE，∴矩形CDOE为正方形，故OD=OE，CD=CE，OC平分∠AOB。∵∠AOB=90°，∴∠BOC=45°。扇形AOB半径为5，阴影部分为扇形OBC，其面积为$\frac{45}{360} × \pi × 5^2 = \frac{25\pi}{8}$。
