14. (★★)(2022·丽水)如图27.2 - 25,在$6×6$的方格纸中,点$A$,$B$,$C$均在格点上,试按要求画出相应格点图形.
(1)如图27.2 - 25①,作一条线段,使它是$AB$向右平移一格后的图形;
(2)如图27.2 - 25②,作一个轴对称图形,使$AB和AC$是它的两条边;
(3)如图27.2 - 25③,作一个与$\triangle ABC$相似的三角形,相似比不等于1.

解：如图所示

15. (★★)(2022·河池改编)如图27.2 - 26,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1)$,$B(2,3)$,$C(1,2)$.
(1)画出与$\triangle ABC关于y轴对称的\triangle A_1B_1C_1$;
(2)在第三象限内画一个$\triangle A_2B_2C_2$,使它与$\triangle ABC$相似,且相似比为$2:1$,其中点$C_2的坐标是(-2,-4)$,并写出点$A_2和B_2$的坐标.

解：$(1)$如图所示　　

1. (★)两边且夹角的两个三角形相似.

成比例；相等

根据相似三角形的判定定理，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

2. (★)下列能判定$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$相似的条件是【】
A.$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}$
B.$\frac{AB}{AC}= \frac{A'B'}{A'C'}且\angle A= \angle C'$
C.$\frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{A'C'}且\angle B= \angle A'$
D.$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}且\angle B= \angle B'$

C

选项A：仅有两边对应成比例，缺少夹角相等条件，不能判定相似；选项B：比例式$\frac{AB}{AC}= \frac{A'B'}{A'C'}$中，对应角应为$\angle A$与$\angle A'$，而非$\angle A$与$\angle C'$，条件错误；选项C：比例式$\frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{A'C'}$即$\frac{AB}{BC}= \frac{A'B'}{A'C'}$，且夹角$\angle B= \angle A'$，符合“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件；选项D：比例式$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}$中，对应角应为$\angle A$与$\angle A'$，而非$\angle B$与$\angle B'$，条件错误。综上，能判定相似的是选项C。

3. (★)如图27.2-27,比例规是伽利略发明的一种画图工具,使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短. 它是由长度相等的两脚$AD和BC$交叉构成的. 如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使$OA = 3OD$,$OB = 3OC$),然后张开两脚,使$A$,$B两个尖端分别在线段l$的两个端点上,若量得$CD$的长度,便可知$AB$的长度. 本题依据的主要数学原理是【】

A.三边成比例的两个三角形相似
B.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D.平行线分线段成比例

C

由题意知，$OA = 3OD$，$OB = 3OC$，
所以$OA:OD = OB:OC = 3:1$，
由于两脚$AD$和$BC$交叉构成，
所以$\angle AOB = \angle DOC$，
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，
可得$\bigtriangleup AOB \sim \bigtriangleup DOC$，
所以本题依据的主要数学原理是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。