22. (10分)某艘渔船在海岛 $ A $ 南偏东 $ 20^{\circ} $ 方向的 $ B $ 处遇险,测得海岛 $ A $ 与 $ B $ 的距离为 $ 20n\ mile $,该渔船将险情报告给位于 $ A $ 处的救援船后,沿北偏西 $ 80^{\circ} $ 方向向海岛 $ C $ 靠近.同时,从 $ A $ 处出发的救援船沿南偏西 $ 10^{\circ} $ 方向匀速航行, $ 20min $ 后,救援船在海岛 $ C $ 处恰好追上渔船,求救援船航行的速度.

救援船航行的速度为 $30\sqrt{3}$ 海里/小时。

解：
1. 确定三角形ABC中的角度
在A点：渔船B在A的南偏东20°，救援船沿南偏西10°方向航行，故∠BAC = 20° + 10° = 30°。
在B点：A在B的北偏西20°（BA方向），渔船沿北偏西80°方向航行（BC方向），故∠ABC = 80° - 20° = 60°。
在△ABC中，∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 30° - 60° = 90°。
2. 应用正弦定理求AC
在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 20海里，∠ABC = 60°。
由正弦定理：$\frac{AC}{\sin\angle ABC} = \frac{AB}{\sin\angle ACB}$
即 $AC = AB \cdot \sin\angle ABC = 20 \cdot \sin60° = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ 海里。
3. 计算救援船速度
航行时间 $t = 20\ min = \frac{1}{3}\ h$，救援船航行路程 $AC = 10\sqrt{3}$ 海里。
速度 $v = \frac{AC}{t} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{3}} = 30\sqrt{3}$ 海里/小时。