24. (8 分)如图,$AB$是$\odot O$直径,弦$CD\perp AB$,垂足为点$E$.弦$BF$交$CD$于点$G$,点$P$在$CD$延长线上,且$PF = PG$.
(1) 求证:$PF$为$\odot O$的切线.
(2) 若$OB = 10$,$BF = 16$,$BE = 8$,求$PF$的长.

(1) 见解析；(2) 5。

(1) 证明：连接OF。
∵PF=PG，∴∠PFG=∠PGF。
∵∠PGF=∠BGE（对顶角相等），∴∠PFG=∠BGE。
∵CD⊥AB，∴∠GEB=90°，则∠BGE+∠GBE=90°。
∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB。
又∠OBF=∠GBE，∴∠PFG+∠OFB=∠BGE+∠GBE=90°。
即∠PFO=90°，∴PF⊥OF。
∵OF是半径，∴PF为⊙O的切线。
(2) 解：以O为原点，AB为x轴建立坐标系，O(0,0)，B(10,0)，E(2,0)（∵BE=8，OE=OB-BE=2），CD：x=2。
设F(x,y)，由BF=16及⊙O半径10，得：
$\begin{cases}(x-10)^2+y^2=16^2 \\ x^2+y^2=10^2\end{cases}$
解得$x=-\frac{14}{5}$，$y=\frac{48}{5}$（F在AB上方），即$F\left(-\frac{14}{5},\frac{48}{5}\right)$。
BF方程：由B(10,0)，F$\left(-\frac{14}{5},\frac{48}{5}\right)$，得斜率$k=-\frac{3}{4}$，方程$y=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}$。
G为BF与CD交点，x=2代入BF方程得G(2,6)。
设P(2,p)（p＞6），则PG=p-6，PF=$\sqrt{\left(2+\frac{14}{5}\right)^2+\left(p-\frac{48}{5}\right)^2}$。
由PF=PG，得$\sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^2+\left(p-\frac{48}{5}\right)^2}=p-6$。
平方化简得$p=11$，∴PF=11-6=5。