24. (10分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,以点C为圆心,CB为半径作$\odot C$,D为$\odot C$上一点,连接AD,CD,$AB = AD$,AC平分$\angle BAD$.
(1)求证:AD是$\odot C$的切线.
(2)延长AD,BC相交于点E,若$S_{\triangle EDC}=2S_{\triangle ABC}$,求$\tan\angle BAC$的值.

(1)见解析；(2)√2/2。

(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC。
∵AB=AD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)。
∵∠ABC=90°，∴∠ADC=∠ABC=90°。
∵CD是⊙C半径，∠ADC=90°，∴AD是⊙C的切线。
(2)解：设AB=AD=x，BC=CD=r，∠BAC=α，则tanα=BC/AB=r/x。
由△ABC≌△ADC，得S△ABC=S△ADC。
∵S△EDC=2S△ABC，∴S△EDC=2S△ADC，∴ED=2AD=2x，AE=3x。
在Rt△ABE中，BE=√(AE²-AB²)=√((3x)²-x²)=2√2x。
在Rt△CDE中，EC=√(ED²+CD²)=√(4x²+r²)。
∵BE=BC+CE，∴2√2x=r+√(4x²+r²)。设r/x=k(tanα=k)，则r=kx。
代入得2√2=k+√(4+k²)，解得k=√2/2。
∴tan∠BAC=√2/2。