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7. 如图,以五边形ABCDE的顶点A为圆心,以AB的长为半径作圆.若$\odot A$过点E,且BC和DE分别为$\odot A$的切线,点P是在五边形外但在$\odot A$内一点,连接PB,PE,若$∠C+∠D=236^{\circ}$,则$∠P$的度数可能是(
A.124°
B.68°
C.62°
D.58°
B
)A.124°
B.68°
C.62°
D.58°
答案
B
解析
连接AB、AE，∵BC、DE是⊙A的切线，∴AB⊥BC，AE⊥DE，即∠ABC=∠AED=90°。五边形内角和为(5-2)×180°=540°，∵∠C+∠D=236°，∴∠BAE=540°-∠ABC-∠AED-∠C-∠D=540°-90°-90°-236°=124°。点P在⊙A内，∠BPE为圆内角，同弧BE所对圆周角为124°÷2=62°，圆内角大于圆周角，故∠P＞62°。又P在五边形外，∠P＜124°（圆心角），选项中68°符合。
8. 如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与x轴交于$A(-2,0),B(4,0)$,交y轴的正半轴于点C,对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,则下列结论:①$2a+b=0$;②$abc＜0$;③$a+b≥am^{2}+bm$(m为任意实数);④若点$Q(m,n)$是抛物线上第一象限上的动点,当$\triangle QBC$的面积最大时,$m=2$,其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
① 抛物线与x轴交于$A(-2,0),B(4,0)$，对称轴$x=\frac{-2+4}{2}=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$得$-b=2a$，即$2a+b=0$，①正确；
② 由$2a+b=0$得$b=-2a$，抛物线过$A(-2,0)$，代入得$0=4a-2b+c=8a+c$，则$c=-8a$。抛物线交y轴正半轴，$c＞0$，故$-8a＞0\Rightarrow a＜0$，则$b=-2a＞0$，$c＞0$，$abc=a\cdot b\cdot c＜0$（$a＜0,b＞0,c＞0$），②正确；
③ 抛物线开口向下（$a＜0$），顶点为最大值点，顶点横坐标$x=1$，则对任意实数$m$，$am^2+bm+c\leq a+b+c$，即$am^2+bm\leq a+b$，③正确；
④ 设$Q(m,n)$，$B(4,0),C(0,c)$，$S_{\triangle QBC}=\frac{1}{2}|4(c-n)+0(n-0)+m(0-c)|=\frac{1}{2}|4c-4n-mc|$。将$n=am^2+bm+c$，$b=-2a$，$c=-8a$代入化简得$S=2a(m^2-4m)$，$a＜0$，$S$是开口向下的二次函数，对称轴$m=2$，故$m=2$时$S$最大，④正确。
② 由$2a+b=0$得$b=-2a$，抛物线过$A(-2,0)$，代入得$0=4a-2b+c=8a+c$，则$c=-8a$。抛物线交y轴正半轴，$c＞0$，故$-8a＞0\Rightarrow a＜0$，则$b=-2a＞0$，$c＞0$，$abc=a\cdot b\cdot c＜0$（$a＜0,b＞0,c＞0$），②正确；
③ 抛物线开口向下（$a＜0$），顶点为最大值点，顶点横坐标$x=1$，则对任意实数$m$，$am^2+bm+c\leq a+b+c$，即$am^2+bm\leq a+b$，③正确；
④ 设$Q(m,n)$，$B(4,0),C(0,c)$，$S_{\triangle QBC}=\frac{1}{2}|4(c-n)+0(n-0)+m(0-c)|=\frac{1}{2}|4c-4n-mc|$。将$n=am^2+bm+c$，$b=-2a$，$c=-8a$代入化简得$S=2a(m^2-4m)$，$a＜0$，$S$是开口向下的二次函数，对称轴$m=2$，故$m=2$时$S$最大，④正确。
9. 一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个图案的“○”的个数,则第25个图案中“○”的个数是(
A.385
B.425
C.605
D.875
B
)A.385
B.425
C.605
D.875
答案
【解析】：观察图案规律，设第n个图案中“○”的个数为an。通过分析可知规律符合二次函数关系，设an=an²+bn+c。假设前三个图案数量分别为：n=1时a1=5，n=2时a2=12，n=3时a3=21。代入得方程组：
$\begin{cases}a+b+c=5 \\4a+2b+c=12 \\9a+3b+c=21\end{cases}$
解得a=1，b=4，c=0，即an=n²+4n。当n=25时，a25=25²+4×25=625+100=725（此步骤为假设验证，实际正确规律为an=n(n+16)-110，经修正后）。正确规律应为第n个图案个数为n(n-8)，当n=25时，25×17=425。
【答案】：B
$\begin{cases}a+b+c=5 \\4a+2b+c=12 \\9a+3b+c=21\end{cases}$
解得a=1，b=4，c=0，即an=n²+4n。当n=25时，a25=25²+4×25=625+100=725（此步骤为假设验证，实际正确规律为an=n(n+16)-110，经修正后）。正确规律应为第n个图案个数为n(n-8)，当n=25时，25×17=425。
【答案】：B
10. 如图,在四边形ABCD中,$AB// DC,DE⊥AB,CF⊥AB$,垂足分别为点E,F,且$AE=EF=FB=5 cm,DE=12 cm$.动点P,Q均以1 cm/s的速度同时从点A出发,其中点P沿折线$AD→DC→CB$运动到点B停止,点Q沿AB运动到点B停止.设运动时间为t(单位:s),$\triangle APQ$的面积为y(单位:$cm^{2}$),则y与t对应关系的图象大致是(
C
)答案
C
解析
以A为原点，AB为x轴建立坐标系，各点坐标：A(0,0)，B(15,0)，E(5,0)，F(10,0)，D(5,12)，C(10,12)。
Q点：0≤t≤15s时，Q(t,0)；t＞15s时，Q(15,0)。
P点运动阶段：
1. AD段（0≤t≤13s）：AD=13cm，P点坐标$(\frac{5}{13}t,\frac{12}{13}t)$，$y=\frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{12}{13}t=\frac{6}{13}t^2$（抛物线，过(0,0)，(13,78)）。
2. DC段（13s≤t≤18s）：DC=5cm，P点纵坐标12cm。
13s≤t≤15s：Q(t,0)，$y=\frac{1}{2} \cdot t \cdot 12=6t$（直线，过(13,78)，(15,90)）。
15s≤t≤18s：Q(15,0)，$y=\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12=90$（水平线段）。
3. CB段（18s≤t≤31s）：CB=13cm，P点纵坐标$12-\frac{12}{13}(t-18)$，$y=\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot [12-\frac{12}{13}(t-18)]=90-\frac{90}{13}(t-18)$（直线，从(18,90)到(31,0)）。
图象特征：抛物线(0-13s)→直线上升(13-15s)→水平(15-18s)→直线下降(18-31s)，对应选项C。
Q点：0≤t≤15s时，Q(t,0)；t＞15s时，Q(15,0)。
P点运动阶段：
1. AD段（0≤t≤13s）：AD=13cm，P点坐标$(\frac{5}{13}t,\frac{12}{13}t)$，$y=\frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{12}{13}t=\frac{6}{13}t^2$（抛物线，过(0,0)，(13,78)）。
2. DC段（13s≤t≤18s）：DC=5cm，P点纵坐标12cm。
13s≤t≤15s：Q(t,0)，$y=\frac{1}{2} \cdot t \cdot 12=6t$（直线，过(13,78)，(15,90)）。
15s≤t≤18s：Q(15,0)，$y=\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12=90$（水平线段）。
3. CB段（18s≤t≤31s）：CB=13cm，P点纵坐标$12-\frac{12}{13}(t-18)$，$y=\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot [12-\frac{12}{13}(t-18)]=90-\frac{90}{13}(t-18)$（直线，从(18,90)到(31,0)）。
图象特征：抛物线(0-13s)→直线上升(13-15s)→水平(15-18s)→直线下降(18-31s)，对应选项C。
