19. (本题10分)
如图,$D是\triangle ABC的边AB$的中点,$DE// BC$,$CE// AB$,$AC与DE相交于点F$。
求证：$\triangle ADF\cong\triangle CEF$。

证明：
∵D是AB中点，∴AD=DB。
∵DE//BC，CE//AB，
∴四边形DBCE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴DB=CE，∴AD=CE。
∵DE//BC，∴∠ADF=∠B，∠AFD=∠ACB。
∵CE//AB，∴∠ECF=∠A。
在△ADF和△CEF中，
∠AFD=∠CFE（对顶角相等），
∠A=∠ECF，
AD=CE，
∴△ADF≌△CEF（AAS）。

证明：
∵ $DE // BC$，$CE // AB$，
∴ 四边形 $DBCE$ 是平行四边形，
∴ $BD = CE$。
∵ $D$ 是 $AB$ 的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $AD = CE$。
∵ $CE // AB$，
∴ $\angle A = \angle ECF$，$\angle ADF = \angle E$。
在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle CEF$ 中，
$\begin{cases} \angle A = \angle ECF \\AD = CE \\\angle ADF = \angle E \end{cases}$
∴ $\triangle ADF \cong \triangle CEF$（ASA）。

20. (本题10分)
如图,在$\triangle ABC$中,$D为边AB$的中点,过点$D作DF// BC$,交$AC于点E$,且$DE = EF$,连接$AF$,$CF$,$CD$。
(1)求证：四边形$ADCF$为平行四边形。
(2)若$\angle ACD = 45^{\circ}$,$\angle EDC = 30^{\circ}$,$BC = 4$,求$CE$的长。

(1) 见解析；(2) √2。

(1) 证明：∵D为AB中点，DF//BC，∴E为AC中点（平行线分线段成比例），即AE=EC。
∵DE=EF，∴E为DF中点。
∴AC与DF互相平分，故四边形ADCF为平行四边形。
(2) 解：∵D为AB中点，DE//BC，∴DE是△ABC中位线，DE=1/2 BC=2。
过E作EH⊥CD于H。
在Rt△EDH中，∠EDC=30°，∴EH=1/2 DE=1。
在Rt△EHC中，∠ACD=45°，∴EH=HC=1。
∴CE=√(EH²+HC²)=√(1²+1²)=√2。