1. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(-4,0)$,点C的坐标为$(0,2)$。以OA,OC为边作矩形OABC。若将矩形OABC绕点O顺时针旋转$90^{\circ}$,得到矩形$OA'B'C'$,则点$B'$的坐标为( )

A.$(-4,-2)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,4)$
D.$(4,2)$

C

解：
∵点A的坐标为$(-4,0)$，点C的坐标为$(0,2)$，四边形OABC是矩形，
∴点B的坐标为$(-4,2)$。
∵矩形OABC绕点O顺时针旋转$90^{\circ}$得到矩形$OA'B'C'$，
∴点B绕点O顺时针旋转$90^{\circ}$得到点$B'$。
设点$B(x,y)$，绕原点顺时针旋转$90^{\circ}$后坐标为$(y,-x)$，
∴点$B(-4,2)$旋转后，$B'$的坐标为$(2,4)$。
答案：C

2. 在如图所示的方格纸中,将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影,使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形,该小正方形的序号是( )

A.①
B.②
C.③
D.④

B

3. 如图,这是由一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的图形,则每次旋转的度数可以是( )

A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

C

观察图形可知，该图形由8个全等的等腰直角三角形组成，绕中心旋转一周为$360°$，则每次旋转的度数为$360°÷8 = 45°$。
C

4. 菱形ABCD的边长为2,$\angle A = 60^{\circ}$,将该菱形绕顶点A在平面内旋转$30^{\circ}$,则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为( )

A.$3-\sqrt{3}$
B.$2-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}-1$
D.$2\sqrt{3}-2$

A

情况1：绕点A顺时针旋转$30°$
1. 连接AC，菱形ABCD中，$\angle BAD=60°$，AB=AD=2，$\triangle ABD$为等边三角形，BD=2，AC= $2\sqrt{3}$。
2. 旋转后AD'与BC交于点E，AB'与CD交于点F，$\angle BAE=30°$，$\angle B=120°$。
3. 在$\triangle ABE$中，由正弦定理：$\frac{BE}{\sin 30°}=\frac{AB}{\sin 120°}$，得$BE=\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
4. $S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE× \sin 60°=\frac{1}{2}× 2× \frac{2\sqrt{3}}{3}× \frac{\sqrt{3}}{2}=1$。
5. 重叠部分面积=菱形面积$-2S_{\triangle ABE}=2\sqrt{3}-2×1=2\sqrt{3}-2$。
情况2：绕点A逆时针旋转$30°$
1. 旋转后AB'与AD夹角为$30°$，AD'与AB夹角为$30°$，重叠部分为四边形AECF。
2. 同理可得$S_{\triangle ADF}=1$，重叠部分面积=菱形面积$-2S_{\triangle ADF}=2\sqrt{3}-2$。
综上，重叠部分面积为$2\sqrt{3}-2$。
D

5. 如图,已知$\triangle AOB$是正三角形,$OC\perp OB$,$OC = OB$,将$\triangle OAB$绕点O逆时针旋转,使OA与OC重合,得到$\triangle OCD$,则旋转角的度数为( )

A.$150^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

A

证明：
∵△AOB是正三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB。
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°。
∵△OAB绕点O逆时针旋转后OA与OC重合，得到△OCD，
∴旋转角为∠AOC=∠AOB+∠COB=60°+90°=150°。
答案：A

6. 如图,$\triangle ABC$绕点B向逆时针方向旋转到$\triangle EBD$的位置,若$\angle A = 20^{\circ}$,$\angle C = 15^{\circ}$,且E、B、C在同一直线上,则旋转角度是( )

A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$155^{\circ}$

C

证明：在$\triangle ABC$中，$\angle A=20^{\circ}$，$\angle C=15^{\circ}$，
$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C=180^{\circ}-20^{\circ}-15^{\circ}=145^{\circ}$。
$\triangle ABC$绕点$B$逆时针旋转到$\triangle EBD$，$E$、$B$、$C$共线，
$\angle ABE$为旋转角，且$\angle EBC=180^{\circ}$。
$\angle ABE=\angle EBC-\angle ABC=180^{\circ}-145^{\circ}=35^{\circ}$。
结论：旋转角度是$35^{\circ}$，选C。

7. 下列图形中,是中心对称图形的有( )
①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形。

A.5个
B.2个
C.3个
D.4个

D

①正方形是中心对称图形；②长方形是中心对称图形；③等边三角形不是中心对称图形；④线段是中心对称图形；⑤角不是中心对称图形；⑥平行四边形是中心对称图形。是中心对称图形的有①②④⑥，共4个。
D

8. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.
B.
C.
D.

B