6. 如图，沿弦$AB$折叠扇形纸片$AOB$，圆心$O$恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点$C$处，若$AB = 4\sqrt{3}$，则四边形$OACB$的面积为.

8√3

连接OC交AB于点D，由折叠知AB垂直平分OC，设半径为r，则OD=DC=r/2。AB=4√3，故AD=2√3。在Rt△OAD中，OA²=AD²+OD²，即r²=(2√3)²+(r/2)²，解得r=4。则OD=2，OC=4。四边形OACB面积=△OAC面积+△OBC面积，因OA=AC=OC=4，△OAC为等边三角形，面积=(√3/4)×4²=4√3，同理△OBC面积=4√3，故四边形OACB面积=4√3+4√3=8√3。

▲7. 如图，在$\odot O$内有折线$OABC$，点$B$在$\odot O$上，其中$OA = 8$，$AB = 12$，$\angle A=\angle B = 60^{\circ}$，则$BC=$.

20

▲8. 如图，在$\odot O$中，弦$EF//$弦$CD$（不是直径），直径$AB$分别交$CD$，$EF$于点$M$，$N$，且$A$是$\overset{\frown}{EF}$的中点. 求证：$M$是弦$CD$的中点.

证明：连接OE，OF，
∵A是$\overset{\frown}{EF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}$，
∴∠AOE=∠AOF，
∵OE=OF，ON=ON，
∴△OEN≌△OFN(SAS)，
∴∠ONE=∠ONF，
∵∠ONE+∠ONF=180°，
∴∠ONE=∠ONF=90°，
∴AB⊥EF，
∵EF//CD，
∴AB⊥CD，
∵AB是直径，
∴M是弦CD的中点.

▲9. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度$AB = 60$米，拱高$PD = 18$米.
（1）求圆弧所在的圆的半径.
（2）当洪水泛滥到跨度只有$30$米时，要采取紧急措施. 若拱顶离水面只有$4$米，即$PE = 4$米时，是否要采取紧急措施？

（1）34米；（2）不需要采取紧急措施。

（1）设圆弧所在圆的圆心为O，半径为R米，连接OA，OD。
∵PD是拱高，
∴PD⊥AB，D为AB中点（垂径定理）。
∵AB=60米，
∴AD=30米。
∵O，D，P共线，设OD=x米，则OP=R，PD=18米，
∴OD=R-18。
在Rt△AOD中，OA²=AD²+OD²，即R²=30²+(R-18)²。
解得R=34。
（2）设此时水面弦为CD，E为CD中点，PE=4米，连接OC。
∵PE⊥CD，
∴OE为圆心O到CD的距离。
∵PD=18米，PE=4米，
∴ED=PD-PE=14米。
∵OD=R-PD=34-18=16米，
∴OE=OD+ED=16+14=30米。
在Rt△COE中，CE=√(OC²-OE²)=√(34²-30²)=16米。
∴CD=2CE=32米。
∵32＞30，
∴不需要采取紧急措施。