5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C$,$BF = CD$,$BD = CE$,$\angle FDE = 50^{\circ}$,则$\angle B$的度数为()


A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

A

在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE。
在△BDF和△CED中，
∵BF=CD，∠B=∠C，BD=CE，
∴△BDF≌△CED（SAS）。
∴∠BDF=∠CED，∠BFD=∠CDE。
设∠BDF=α，∠BFD=β，则∠CED=α，∠CDE=β。
∵∠BDF+∠FDE+∠CDE=180°（平角定义），∠FDE=50°，
∴α+50°+β=180°，即α+β=130°。
在△BDF中，∠B+α+β=180°（三角形内角和定理），
∴∠B=180°-(α+β)=180°-130°=50°。

6. 如图,点$B$,$E$,$C$,$F$在同一条直线上,$AB// DE$,$AB = DE$,$BE = CF$,$AC = 6$,则$DF$的长为()

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$

C

由于$AB// DE$，根据平行线的性质，可知$\angle B=\angle DEF$。
因为$BE=CF$，所以$BC=BE+EC=CF+EC=EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AB = DE$，$\angle B=\angle DEF$，$BC = EF$，根据全等三角形的判定（$SAS$），可得$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
根据全等三角形的性质，对应边相等，因为$AC = 6$，所以$DF = 6$。

7. 如图,$AB$,$CD相交于点O$,$AO = BO$,$CO = DO$,则图中全等三角形共有()


A.$2$对
B.$3$对
C.$4$对
D.$5$对

C

在△AOC和△BOD中，AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO，∴△AOC≌△BOD(SAS)；在△AOD和△BOC中，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，∴△AOD≌△BOC(SAS)；由△AOC≌△BOD得AC=BD，由△AOD≌△BOC得AD=BC，在△ACD和△BDC中，AC=BD，AD=BC，CD=DC，∴△ACD≌△BDC(SSS)；在△ABC和△BAD中，AC=BD，BC=AD，AB=BA，∴△ABC≌△BAD(SSS)。共4对全等三角形。

8. 如图,$AD是\triangle ABC$的中线,$E$,$F分别是AD和AD$延长线上的点,且$DE = DF$,连接$BF$,$CE$,下列说法：①$\triangle ABD和\triangle ACD$的面积相等；②$\angle BAD= \angle CAD$；③$\triangle BDF\cong\triangle CDE$；④$BF// CE$,其中一定正确的有()

A.$4$个
B.$3$个
C.$2$个
D.$1$个

B

1. $AD$是$\triangle ABC$的中线，那么$BD=DC$，$AD$是两个三角形$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的公共高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× 底×高$，这两个三角形等底等高，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$，故①正确。
2. 题目中并未给出能证明$\angle BAD = \angle CAD$的条件，所以②不一定正确。
3. 已知$BD = DC$，$DE = DF$，且$\angle BDF = \angle CDE$（对顶角相等）。
根据$SAS$（边角边）全等条件，可以得出$\triangle BDF\cong\triangle CDE$，故③正确。
4. 由$\triangle BDF\cong\triangle CDE$，根据全等三角形的性质，得出$\angle FBD = \angle ECD$。
因为内错角相等，两直线平行，所以$BF// CE$，故④正确。
综上所述，①③④是正确的，一共有$3$个正确选项。

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$BC = 5$,$AC = 4$,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,在$AB上截取AE = AC$,则$\triangle BDE$的周长为.

7

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD。∵AE=AC，AD=AD，∴△AED≌△ACD(SAS)，∴ED=CD。∵AB=6，AE=AC=4，∴BE=AB-AE=6-4=2。△BDE周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=5+2=7。

10. 如图,$CA平分\angle DCB$,$CB = CD$,$DA的延长线交BC于点E$,若$\angle BAE = 54^{\circ}$,则$\angle EAC$的度数为.

63°

∵CA平分∠DCB，∴∠DCA=∠BCA。
∵CB=CD，CA=CA，∴△DCA≌△BCA（SAS）。
∴∠DAC=∠BAC。
设∠EAC=x，∵D，A，E共线，∴∠DAC+∠EAC=180°，即∠DAC=180°-x。
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=54°+x，且∠DAC=∠BAC，
∴180°-x=54°+x，解得x=63°。