3. 如图所示,在△ABC中,BA= BC= 10,△ABC的面积是48,BH为高,点P,D分别是BH和AB上的动点,求PA+PD的最小值。

解：
1. 确定△ABC的基本量：
∵BA=BC=10，△ABC为等腰三角形，BH为高，
∴BH垂直平分AC，设AH=x，BH=h，AC=2x。
由面积公式：$\frac{1}{2} × AC × BH = 48$，即$x \cdot h = 48$。
由勾股定理：$x^2 + h^2 = AB^2 = 100$。
解得$x=8,h=6$或$x=6,h=8$（均满足条件）。
2. 对称转化：
∵BH垂直平分AC，∴点A关于BH的对称点为点C，故PA=PC（P在BH上）。
∴PA+PD=PC+PD。
3. 最小值转化：
要使PC+PD最小，D在AB上，P在BH上，由“垂线段最短”，PC+PD的最小值为点C到AB的距离（设为d）。
4. 计算距离d：
由△ABC面积公式：$\frac{1}{2} × AB × d = 48$，
即$\frac{1}{2} × 10 × d = 48$，解得$d = \frac{48}{5}$。
结论：PA+PD的最小值为$\frac{48}{5}$。
$\boxed{\frac{48}{5}}$

4. 如图所示,等边三角形ABC中,AB= 8,点E在边BC上,BE= 5,射线CD⊥BC,垂足为点C,点P是射线CD上的一动点,点F是线段AB上一动点,当EP+PF的值最小时,求BF的长。

BF的长为$\boxed{\dfrac{11}{2}}$。

解：
1. 作对称点：
作点E关于射线CD的对称点E'，由轴对称性质得EP=E'P，故EP+PF=E'P+PF。
2. 转化路径：
当E'、P、F三点共线时，E'P+PF=E'F最小（两点之间线段最短），此时EP+PF最小，即求E'到AB的最短距离（垂线段最短）。
3. 计算相关长度：
等边△ABC中，BC=AB=8，BE=5，故EC=BC-BE=3。
E与E'关于CD对称，CD⊥BC，因此EE'=2EC=6，且EE'//BC。
4. 求垂足F：
过E'作E'F⊥AB于F，F为AB上使E'F最短的点。
建立坐标系（以C为原点，BC为x轴）：C(0,0)，B(8,0)，E(3,0)，E'(-3,0)，A(4,4√3)。
直线AB：y=-√3x+8√3；直线E'F（斜率1/√3）：y=(1/√3)x+√3。
联立方程解得F(21/4, 11√3/4)。
5. 计算BF：
B(8,0)，F(21/4,0)，BF=8 - 21/4=11/2。

5. 如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,点E,F分别是BD,BC上的动点。若AB= 10,$ S_{\triangle ABC}= 30 $,求CE+EF的最小值。

6

作点F关于BD的对称点F'，∵BD平分∠ABC，∴F'在BA上，且EF=EF'。
则CE+EF=CE+EF'，当E为CF'与BD交点时，CE+EF'=CF'。
∵F'是BA上动点，∴CF'最小值为点C到BA的距离h。
∵S△ABC=30，AB=10，∴1/2×AB×h=30，即1/2×10×h=30，解得h=6。
∴CE+EF的最小值为6。

6. 如图所示,A为马厩,B为帐篷,牧马人某天要从马厩牵出马,先到草地边的某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。(作出图形并说明理由)

作图步骤：
1. 作点A关于草地边的对称点A'；
2. 作点B关于河边的对称点B'；
3. 连接A'B'，分别交草地边于点P，交河边于点Q；
4. 连接AP、PQ、QB。
则路径A-P-Q-B即为所求最短路线。
理由：
由轴对称性质得AP=A'P，BQ=B'Q，故路径A-P-Q-B的长度=A'P+PQ+QB'=A'B'。根据“两点之间线段最短”，A'B'为A'、B'间最短距离，因此A-P-Q-B为最短路径。

7. 如图所示,直线$ l_1 // l_2 $,A,B为两定点,M,N分别在直线$ l_1 $,$ l_2 $上,且$ MN \perp l_2 $,请确定M,N的位置,使AM+MN+BN最小。

1. 设直线$l_1$与$l_2$间的距离为$d$（$d$为定值），则$MN = d$，故$AM + MN + BN = (AM + BN) + d$，需使$AM + BN$最小。
2. 将点$A$沿垂直于$l_1$的方向向下平移$d$个单位长度，得到点$A'$。
3. 连接$A'B$，交直线$l_2$于点$N$。
4. 过点$N$作$l_2$的垂线，交直线$l_1$于点$M$。
此时，点$M$、$N$即为使$AM + MN + BN$最小的点。