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1. 下列说法中错误的是(
A.$-\dfrac{3}{2}x^{2}y的系数是-\dfrac{3}{2}$
B.数字$0$也是单项式
C.$\dfrac{2}{3}\pi xy的系数是\dfrac{2}{3}$
D.$-\pi x$是一次单项式
C
)A.$-\dfrac{3}{2}x^{2}y的系数是-\dfrac{3}{2}$
B.数字$0$也是单项式
C.$\dfrac{2}{3}\pi xy的系数是\dfrac{2}{3}$
D.$-\pi x$是一次单项式
答案
C
解析
A. 对于 $-\dfrac{3}{2}x^{2}y$，其系数是前面的数字部分，即 $-\dfrac{3}{2}$，所以A选项正确。
B. 单项式的定义是一个或多个数与变量的乘积，单独的一个数字也是单项式，所以数字0也是单项式，B选项正确。
C. 对于 $\dfrac{2}{3}\pi xy$，其系数是前面的数字和常数的乘积，即 $\dfrac{2}{3}\pi$，与C选项中的$\dfrac{2}{3}$不符，所以C选项错误。
D. $-\pi x$ 的次数是x的指数，即1，所以它是一个一次单项式，D选项正确。
B. 单项式的定义是一个或多个数与变量的乘积，单独的一个数字也是单项式，所以数字0也是单项式，B选项正确。
C. 对于 $\dfrac{2}{3}\pi xy$，其系数是前面的数字和常数的乘积，即 $\dfrac{2}{3}\pi$，与C选项中的$\dfrac{2}{3}$不符，所以C选项错误。
D. $-\pi x$ 的次数是x的指数，即1，所以它是一个一次单项式，D选项正确。
2. 下面计算正确的是(
A.$6a - 5a = 1$
B.$a + 2a^{2} = 3a^{2}$
C.$-(a - b) = -a + b$
D.$2(a + b) = 2a + b$
C
)A.$6a - 5a = 1$
B.$a + 2a^{2} = 3a^{2}$
C.$-(a - b) = -a + b$
D.$2(a + b) = 2a + b$
答案
C
解析
A. $6a - 5a = a$，而不是1，所以A错误；
B. $a$ 和 $2a^{2}$ 不是同类项，不能合并，所以B错误；
C. $-(a - b) = -a + b$，与选项一致，所以C正确；
D. $2(a + b) = 2a + 2b$，而不是 $2a + b$，所以D错误。
B. $a$ 和 $2a^{2}$ 不是同类项，不能合并，所以B错误；
C. $-(a - b) = -a + b$，与选项一致，所以C正确；
D. $2(a + b) = 2a + 2b$，而不是 $2a + b$，所以D错误。
3. 某校组织若干师生参加社会实践活动. 若学校租用$45座的客车x$辆,则余下$15$人无座位；若租用$60$座的客车,则可少租$1$辆,且最后一辆还没有坐满. 那么乘坐最后一辆$60$座客车的人数是(
A.$75 - 15x$
B.$135 - 15x$
C.$75 + 15x$
D.$135 - 60x$
B
)A.$75 - 15x$
B.$135 - 15x$
C.$75 + 15x$
D.$135 - 60x$
答案
B
解析
设师生总人数为$N$。
根据题意，当租用$45$座的客车$x$辆时，余下$15$人无座位，所以总人数：
$N = 45x + 15$，
当租用$60$座的客车时，可少租$1$辆，即租用$x-1$辆，且最后一辆没有坐满。
那么前$x-2$辆$60$座客车坐满时的人数为$60(x - 2)$，
最后一辆$60$座客车的人数则为总人数减去前$x-2$辆的人数，即：
$N - 60(x - 2) = (45x + 15) - 60(x - 2) = 135 - 15x$，
这就是乘坐最后一辆$60$座客车的人数。
根据题意，当租用$45$座的客车$x$辆时，余下$15$人无座位，所以总人数：
$N = 45x + 15$，
当租用$60$座的客车时，可少租$1$辆，即租用$x-1$辆，且最后一辆没有坐满。
那么前$x-2$辆$60$座客车坐满时的人数为$60(x - 2)$，
最后一辆$60$座客车的人数则为总人数减去前$x-2$辆的人数，即：
$N - 60(x - 2) = (45x + 15) - 60(x - 2) = 135 - 15x$，
这就是乘坐最后一辆$60$座客车的人数。
4. 有下列结论：①$a^{2} ＞ 0$；②$(-a)^{4} = a^{4}$；③$(-a)^{5} = a^{5}$；④$(a + 2)^{2} ＞ 0$；⑤$(a - 1)^{2} + 2 ＞ 0$；⑥若$(-2)^{m} ＞ 0$,则$(-1)^{m} = 1$；⑦若$(-2)^{m} ＜ 0$,则$(-1)^{m} = -1$；⑧若$0 ＜ a ＜ 1$,则$a^{2} ＜ a$；⑨$(a - \dfrac{1}{2})^{2} + \dfrac{2}{3}的最小值为\dfrac{2}{3}$；⑩$7 - (a - 3)^{2}的最大值为7$. 其中正确的个数为(
A.$7$
B.$8$
C.$9$
D.$10$
A
)A.$7$
B.$8$
C.$9$
D.$10$
答案
A
解析
①$a^{2} \geq 0$，当$a=0$时，$a^{2}=0$，所以①错误；
②$(-a)^{4}=a^{4}$，正确；
③$(-a)^{5}=-a^{5}$，所以③错误；
④当$a=-2$时，$(a+2)^{2}=0$，所以④错误；
⑤$(a-1)^{2} \geq 0$，所以$(a-1)^{2}+2＞0$，正确；
⑥若$(-2)^{m}＞0$，则$m$为偶数，$(-1)^{m}=1$，正确；
⑦若$(-2)^{m}＜0$，则$m$为奇数，$(-1)^{m}=-1$，正确；
⑧$0＜a＜1$，$a^{2}-a=a(a-1)＜0$，$a^{2}＜a$，正确；
⑨$(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{2}{3}$，当$a=\frac{1}{2}$时，有最小值$\frac{2}{3}$，正确；
⑩$7-(a-3)^{2}$，当$a=3$时，有最大值$7$，正确。
正确的有②⑤⑥⑦⑧⑨⑩，共7个。
②$(-a)^{4}=a^{4}$，正确；
③$(-a)^{5}=-a^{5}$，所以③错误；
④当$a=-2$时，$(a+2)^{2}=0$，所以④错误；
⑤$(a-1)^{2} \geq 0$，所以$(a-1)^{2}+2＞0$，正确；
⑥若$(-2)^{m}＞0$，则$m$为偶数，$(-1)^{m}=1$，正确；
⑦若$(-2)^{m}＜0$，则$m$为奇数，$(-1)^{m}=-1$，正确；
⑧$0＜a＜1$，$a^{2}-a=a(a-1)＜0$，$a^{2}＜a$，正确；
⑨$(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{2}{3}$，当$a=\frac{1}{2}$时，有最小值$\frac{2}{3}$，正确；
⑩$7-(a-3)^{2}$，当$a=3$时，有最大值$7$，正确。
正确的有②⑤⑥⑦⑧⑨⑩，共7个。
5. 瑞士数学教师巴尔末成功从光谱数据$\dfrac{9}{5}$,$\dfrac{16}{12}$,$\dfrac{25}{21}$,$\dfrac{36}{32}$,$\dfrac{49}{45}$,…中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门,按此规律,第$10$个数据是(
A.$\dfrac{25}{24}$
B.$\dfrac{26}{25}$
C.$\dfrac{36}{35}$
D.$\dfrac{37}{36}$
C
)A.$\dfrac{25}{24}$
B.$\dfrac{26}{25}$
C.$\dfrac{36}{35}$
D.$\dfrac{37}{36}$
答案
C
解析
观察光谱数据，分子依次为$9=3^2$，$16=4^2$，$25=5^2$，$36=6^2$，$49=7^2$，可得出分子规律为$(n+2)^2$（$n$为正整数）；分母依次为$5$，$12$，$21$，$32$，$45$，且分子与分母的差均为$4$，故分母规律为$(n+2)^2 - 4$。
第$10$个数据中，$n=10$，分子为$(10+2)^2=144$，分母为$144 - 4=140$，分数为$\frac{144}{140}=\frac{36}{35}$。
第$10$个数据中，$n=10$，分子为$(10+2)^2=144$，分母为$144 - 4=140$，分数为$\frac{144}{140}=\frac{36}{35}$。
6. 写出一个含$x$的二次三项式：
$x^2 + x + 13$
,使得当$x = $1
时,代数式的值为$15$.答案
$x^2 + x + 13$，1（答案不唯一）
解析
设二次三项式为$x^2 + x + 13$，当$x=1$时，$1^2 + 1 + 13 = 15$。
7. 当$x = 1$时,式子$2ax^{3} + 3bx + 4的值是5$,那么当$x = -1$时,式子$2ax^{3} + 3bx + 4$的值是
3
.答案
3
解析
当$x = 1$时，代入式子$2ax^{3} + 3bx + 4$得：
$2a(1)^{3} + 3b(1) + 4 = 2a + 3b + 4 = 5$，
整理得：$2a + 3b = 1$。
当$x = -1$时，代入式子$2ax^{3} + 3bx + 4$得：
$2a(-1)^{3} + 3b(-1) + 4 = -2a - 3b + 4$，
根据之前得出的$2a + 3b = 1$，代入上式得：
$-(2a + 3b) + 4 = -1 + 4 = 3$。
$2a(1)^{3} + 3b(1) + 4 = 2a + 3b + 4 = 5$，
整理得：$2a + 3b = 1$。
当$x = -1$时，代入式子$2ax^{3} + 3bx + 4$得：
$2a(-1)^{3} + 3b(-1) + 4 = -2a - 3b + 4$，
根据之前得出的$2a + 3b = 1$，代入上式得：
$-(2a + 3b) + 4 = -1 + 4 = 3$。
8. 图中阴影部分的面积为
2ab-πa²
.答案
2ab-πa²
解析
阴影部分面积=长方形面积-两个半圆面积。长方形长为b，宽为2a，面积=2ab。两个半圆可拼成一个直径为2a的圆，半径=a，面积=πa²。故阴影面积=2ab-πa²。
9. 已知$a$,$b$是有理数,定义一种新运算“$\bigotimes$”,满足$a\bigotimes b = 3a - 2b$.
(1)$(-3)\bigotimes 2$的值是
(2)化简：$(2\bigotimes 2x)\bigotimes (-3x) = $
(1)$(-3)\bigotimes 2$的值是
$-13$
；(2)化简：$(2\bigotimes 2x)\bigotimes (-3x) = $
$18 - 6x$
.答案
(1) $-13$
(2) $18 - 6x$
解析
(1) 根据新运算的定义，$a\bigotimes b = 3a - 2b$，
代入$a = -3$，$b = 2$，
得$(-3)\bigotimes 2 = 3× (-3) - 2× 2 = -9 - 4 = -13$。
(2) 首先计算内层运算$2\bigotimes 2x$，
根据定义，$2\bigotimes 2x = 3× 2 - 2× 2x = 6 - 4x$。
然后计算外层运算$(6 - 4x)\bigotimes (-3x)$，
根据定义，$(6 - 4x)\bigotimes (-3x) = 3(6 - 4x) - 2(-3x) = 18 - 12x + 6x = 18 - 6x$。
代入$a = -3$，$b = 2$，
得$(-3)\bigotimes 2 = 3× (-3) - 2× 2 = -9 - 4 = -13$。
(2) 首先计算内层运算$2\bigotimes 2x$，
根据定义，$2\bigotimes 2x = 3× 2 - 2× 2x = 6 - 4x$。
然后计算外层运算$(6 - 4x)\bigotimes (-3x)$，
根据定义，$(6 - 4x)\bigotimes (-3x) = 3(6 - 4x) - 2(-3x) = 18 - 12x + 6x = 18 - 6x$。
10. 如下表,从左到右在每个小格中都填入一个整数,使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等,则第$2024$个格子中的整数是
| -4 | $a$ | $b$ | $c$ | $6$ | $b$ | | | $-2$ | | …$$ |
6
.| -4 | $a$ | $b$ | $c$ | $6$ | $b$ | | | $-2$ | | …$$ |
答案
6
解析
因为任意三个相邻格子所填整数之和相等，所以第1+第2+第3=第2+第3+第4，得第1=第4，即c=-4；第2+第3+第4=第3+第4+第5，得第2=第5，即a=6；第3+第4+第5=第4+第5+第6，得第3=第6，即b=b（恒成立）。由第6+第7+第8=第7+第8+第9，得第6=第9，即b=-2。综上，数列周期为3：-4，6，-2。2024÷3=674……2，余数为2，对应周期中第2个数6。
