登录
1. 如图,点B,F,C,E在同一直线上,AB= DE,∠B= ∠E,要运用“SAS”判定△ABC≌△DEF,还需补充一个条件,可以是(
A.BF= EC
B.AC= FE
C.AC= DF
D.∠A= ∠D
A
)A.BF= EC
B.AC= FE
C.AC= DF
D.∠A= ∠D
答案
A
解析
已知$AB = DE$，$\angle B=\angle E$，要根据“$SAS$”（边角边）判定$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，需要添加一组对应边相等，即$BC = EF$。
因为$BC=BF + FC$，$EF=EC + FC$，当$BF = EC$时，$BC = EF$，此时在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AB = DE$，$\angle B=\angle E$，$BC = EF$，满足“$SAS$”判定定理。
因为$BC=BF + FC$，$EF=EC + FC$，当$BF = EC$时，$BC = EF$，此时在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AB = DE$，$\angle B=\angle E$，$BC = EF$，满足“$SAS$”判定定理。
2. 如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA'B'的基本事实简写为“
SAS
”.答案
$SAS$
解析
根据题意，$O$是$AA^{\prime} $，$BB^{\prime} $的中点，即$OA=OA^{\prime} $，$OB=OB^{\prime} $，
当$AA^{\prime} $，$BB^{\prime} $绕着点$O$转动时，$\angle AOB$与$\angle A^{\prime} OB^{\prime} $是对顶角，所以$\angle AOB=\angle A^{\prime} OB^{\prime} $，
在$\triangle OAB$和$\triangle OA^{\prime} B^{\prime} $中，$OA = OA^{\prime} $，$\angle AOB=\angle A^{\prime} OB^{\prime} $，$OB = OB^{\prime} $，
根据“$SAS$”（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle OAB\cong \triangle OA^{\prime} B^{\prime} $。
当$AA^{\prime} $，$BB^{\prime} $绕着点$O$转动时，$\angle AOB$与$\angle A^{\prime} OB^{\prime} $是对顶角，所以$\angle AOB=\angle A^{\prime} OB^{\prime} $，
在$\triangle OAB$和$\triangle OA^{\prime} B^{\prime} $中，$OA = OA^{\prime} $，$\angle AOB=\angle A^{\prime} OB^{\prime} $，$OB = OB^{\prime} $，
根据“$SAS$”（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle OAB\cong \triangle OA^{\prime} B^{\prime} $。
3. 如图,一块三角形玻璃破裂成Ⅰ,Ⅱ两块,现需要配同样大小的一块三角形玻璃,为方便起见,只需带上第
Ⅱ
块碎片.答案
Ⅱ
解析
第Ⅱ块碎片保留了原三角形的两个角和它们的夹边，根据“ASA”可确定唯一三角形；第Ⅰ块仅保留一个角和部分边，无法确定。故只需带第Ⅱ块。
4. 在△ABC中,AB= 5,AC= 3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是
1＜m＜4
.答案
$1\lt m\lt 4$（填写形式根据实际答题要求，这里若按区间形式对应选项填写）若题目是选项形式，根据常见情况假设本题是填空形式求范围，若转化为选择形式，答案选对应$1 ＜ m＜4$的选项。
解析
延长$AD$到点$E$，使$AD = DE$，连接$BE$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = DC$。
在$\triangle ADC$和$\triangle EDB$中：
$AD = DE$，$\angle ADC=\angle EDB$ （对顶角相等），$BD = DC$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ADC\cong\triangle EDB$。
所以$BE = AC = 3$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
$AB - BE\lt AE\lt AB + BE$，即$5 - 3\lt 2m\lt 5 + 3$。
$2\lt 2m\lt 8$，解得$1\lt m\lt 4$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = DC$。
在$\triangle ADC$和$\triangle EDB$中：
$AD = DE$，$\angle ADC=\angle EDB$ （对顶角相等），$BD = DC$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ADC\cong\triangle EDB$。
所以$BE = AC = 3$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
$AB - BE\lt AE\lt AB + BE$，即$5 - 3\lt 2m\lt 5 + 3$。
$2\lt 2m\lt 8$，解得$1\lt m\lt 4$。
5. 如图,在△ABC中,∠B= 50°,∠C= 20°. 过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D,使AD= AC. 在边AC上截取AF= AB,连接DF. 求证DF= CB.
答案
证明：
∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-20°=110°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°．
在△AEC中，∠C=20°，∠AEC=90°，
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠C=180°-90°-20°=70°．
∵D在EA的延长线上，
∴∠DAF=180°-∠EAC=180°-70°=110°，
∴∠DAF=∠BAC．
∵AD=AC，AF=AB，
∴△ADF≌△ACB（SAS），
∴DF=CB．
∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-20°=110°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°．
在△AEC中，∠C=20°，∠AEC=90°，
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠C=180°-90°-20°=70°．
∵D在EA的延长线上，
∴∠DAF=180°-∠EAC=180°-70°=110°，
∴∠DAF=∠BAC．
∵AD=AC，AF=AB，
∴△ADF≌△ACB（SAS），
∴DF=CB．
6. 两个大小不同的等腰直角三角尺如图1所示,图2是由它抽象出的几何图形,其中B,C,E在同一条直线上,连接DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并说明理由；
(2)求证DC⊥BE.
(1)请找出图2中的全等三角形,并说明理由；
(2)求证DC⊥BE.
答案
(1) △ABE≌△ACD.
理由：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC \\ ∠BAE=∠CAD \\ AE=AD \end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACD(SAS).
(2) 证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD.
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABE=45°.
∴∠ACD=45°.
∵B，C，E在同一直线上，∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°.
∴DC⊥BE.
理由：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC \\ ∠BAE=∠CAD \\ AE=AD \end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACD(SAS).
(2) 证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD.
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABE=45°.
∴∠ACD=45°.
∵B，C，E在同一直线上，∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°.
∴DC⊥BE.
