【典型例题】计算：

(1) $\frac{-a^{2}b}{2c}\cdot (-\frac{4cd}{5ab^{2}})$；(2) $\frac{ab^{3}}{2c^{2}}÷ \frac{-5a^{2}b^{2}}{4cd}$；
(3) $\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}+2x + 1}\cdot \frac{x^{2}+x}{x^{2}-4}$；
(4) $\frac{-x^{2}+2x - 1}{2 + x}÷ \frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x}$。
【解】(1) $\frac{-a^{2}b}{2c}\cdot (-\frac{4cd}{5ab^{2}})= \frac{a^{2}b}{2c}\cdot \frac{4cd}{5ab^{2}}$
$=\frac{a^{2}b\cdot 4cd}{2c\cdot 5ab^{2}}= \frac{2ad}{5b}$。
(2) $\frac{ab^{3}}{2c^{2}}÷ \frac{-5a^{2}b^{2}}{4cd}= \frac{ab^{3}}{2c^{2}}\cdot \frac{4cd}{-5a^{2}b^{2}}= -\frac{ab^{3}\cdot 4cd}{2c^{2}\cdot 5a^{2}b^{2}}= -\frac{2bd}{5ac}$。
(3) $\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}+2x + 1}\cdot \frac{x^{2}+x}{x^{2}-4}= \frac{(x - 2)^{2}}{(x + 1)^{2}}\cdot \frac{x(x + 1)}{(x + 2)(x - 2)}= \frac{x(x - 2)^{2}(x + 1)}{(x + 1)^{2}(x + 2)(x - 2)}= \frac{x(x - 2)}{(x + 1)(x + 2)}$。
(4) $\frac{-x^{2}+2x - 1}{2 + x}÷ \frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x}= \frac{-(x - 1)^{2}}{x + 2}\cdot \frac{x(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)}= -\frac{x(x - 1)}{x + 1}$。

(1)
$\frac{-a^{2}b}{2c}\cdot (-\frac{4cd}{5ab^{2}})$
$=\frac{a^{2}b}{2c}\cdot \frac{4cd}{5ab^{2}}$
$=\frac{a^{2}b\cdot 4cd}{2c\cdot 5ab^{2}}$
$=\frac{2ad}{5b}$
(2)
$\frac{ab^{3}}{2c^{2}}÷\frac{-5a^{2}b^{2}}{4cd}$
$=\frac{ab^{3}}{2c^{2}}\cdot \frac{4cd}{-5a^{2}b^{2}}$
$=-\frac{ab^{3}\cdot 4cd}{2c^{2}\cdot 5a^{2}b^{2}}$
$=-\frac{2bd}{5ac}$
(3)
$\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}+2x + 1}\cdot \frac{x^{2}+x}{x^{2}-4}$
$=\frac{(x - 2)^{2}}{(x + 1)^{2}}\cdot \frac{x(x + 1)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{x(x - 2)}{(x + 1)(x + 2)}$
(4)
$\frac{-x^{2}+2x - 1}{2 + x}÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x}$
$=\frac{-(x - 1)^{2}}{x + 2}\cdot \frac{x(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)}$
$=-\frac{x(x - 1)}{x + 1}$

计算：
(1) $\frac{4a + 4b}{5ab}\cdot \frac{15a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}$；
(2) $\frac{5m^{2}}{6n}÷ (-5mn^{2})$；
(3) $\frac{a^{2}-4}{a - 3}÷ \frac{a + 2}{a^{2}-6a + 9}$。

(1)
原式 $= \frac{4(a + b)}{5ab} \cdot \frac{15a^{2}b}{a^{2} - b^{2}}$
$ = \frac{4(a + b)}{5ab} \cdot \frac{15a^{2}b}{(a + b)(a - b)}$
$ = \frac{12a}{a - b}$
(2)
原式 $= \frac{5m^{2}}{6n} \cdot \left( - \frac{1}{5mn^{2}} \right)$
$ = - \frac{m}{6n^{3}}$
(3)
原式 $= \frac{a^{2} - 4}{a - 3} \cdot \frac{a^{2} - 6a + 9}{a + 2}$
$ = \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 3} \cdot \frac{(a - 3)^{2}}{a + 2}$
$ = (a - 2)(a - 3)$
$ = a^{2} - 5a + 6$

1. 下列各式计算正确的是()
A.$\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{6b}= \frac{2a}{7b}$
B.$8a^{2}b^{3}÷ (-\frac{3a}{4b^{2}})= -6a^{3}b$
C.$-\frac{a^{2}}{b}\cdot (-\frac{b^{2}}{a})= -ab$
D.$\frac{a}{a^{2}-1}÷ \frac{a^{2}}{a^{2}+a}= \frac{1}{a - 1}$

D

A. 计算 $\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{6b} = \frac{a \cdot a}{b \cdot 6b} = \frac{a^2}{6b^2}$，与 $\frac{2a}{7b}$ 不一致，错误。
B. 计算 $8a^2b^3 ÷ \left(-\frac{3a}{4b^2}\right) = 8a^2b^3 \cdot \left(-\frac{4b^2}{3a}\right) = -\frac{32a^2b^3 \cdot b^2}{3a} = -\frac{32a b^5}{3}$，与 $-6a^3b$ 不一致，错误。
C. 计算 $-\frac{a^2}{b} \cdot \left(-\frac{b^2}{a}\right) = \frac{a^2 \cdot b^2}{b \cdot a} = a b$，与 $-ab$ 不一致，错误。
D. 计算 $\frac{a}{a^2-1} ÷ \frac{a^2}{a^2+a} = \frac{a}{(a+1)(a-1)} \cdot \frac{a(a+1)}{a^2} = \frac{a \cdot a(a+1)}{(a+1)(a-1) \cdot a^2} = \frac{1}{a-1}$，与 $\frac{1}{a-1}$ 一致，正确。

2. 计算：$\frac{x}{x - y}\cdot \frac{x^{2}-y^{2}}{x}= $。

$x + y$

首先对 $x^{2} - y^{2}$ 进行因式分解，得到 $(x + y)(x - y)$，
然后将原式表示为$\frac{x}{x - y} \cdot \frac{(x + y)(x - y)}{x}$，
由于分子分母都有 $x$ 和 $x - y$，可以相互抵消，得到 $x + y$。