3. 某同学用棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样。图①有 11 个棋子,图②有 16 个棋子,图③有 21 个棋子,图④有 26 个棋子,按这种规律,则第 20 个“100”字样的棋子个数是()。

A.125
B.110
C.106
D.101

C

观察可知，图①有11个棋子，图②有16个棋子，图③有21个棋子，图④有26个棋子。
相邻两图棋子数的差值为：16-11=5，21-16=5，26-21=5，规律为后一个图比前一个图多5个棋子。
设第n个图的棋子数为$a_n$，则$a_n = 11 + 5(n - 1)$。
当n=20时，$a_{20}=11 + 5×(20 - 1)=11 + 5×19=11 + 95=106$。
C

4. 【数学文化】古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是指一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数,如 1,3,6,10,15,…。我国元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥形的堆垛(如图所示,顶上一层 1 个球,下一层 3 个球,再下一层 6 个球……)。若一个“落一形”堆垛有 10 层,则该堆垛球的总个数为()。

A.55
B.220
C.285
D.385

B

三角形数的通项公式为$a_n = \frac{n(n + 1)}{2}$。
“落一形”堆垛总个数为前$n$个三角形数之和，即$S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{k(k + 1)}{2}$。
展开得$S_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(k^2 + k)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k\right)$。
已知$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$，$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n + 1)}{2}$。
代入得$S_n=\frac{1}{2}\left[\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}+\frac{n(n + 1)}{2}\right]=\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$。
当$n = 10$时，$S_{10}=\frac{10×11×12}{6}=220$。
B

5. 图①是一根起点为 0 且标有单位长度的射线,现将它弯折成如图②所示的图形,弯折后落在虚线上的点,从下往上第一个数是 0,第二个数是 12,第三个数是 42……依此规律,落在虚线上的第五个点对应的数是()。

A.90
B.96
C.150
D.156

D

6. 【数学文化】《庄子·天下》中写道：“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”意思是：一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,那么$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + … + \frac{1}{2^{n}} = $。

$1-\frac{1}{2^{n}}$