结构梳理

填空：①；②；③。

①同时加上（或减去）同一个整式；②同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）；③$x=a$

等式的基本性质包括：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，结果仍是等式；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍是等式。解一元一次方程的目标是逐步将方程化为$x=a$（$a$为常数）的形式。

1. 下列推理过程能够用于验证“等式的两边乘同一个负数,所得结果仍相等”的是()
A.已知$-2×4= -8$,因为$-2×4×3= -24$,$-8×3= -24$,所以$-2×4×3= -8×3$
B.已知$-2×(-4)= 8$,因为$-2×(-4)×3= 24$,$8×3= 24$,所以$-2×(-4)×3= 8×3$
C.已知$2×4= 8$,因为$2×4×3= 24$,$8×3= 24$,所以$2×4×3= 8×3$
D.已知$2×4= 8$,因为$2×4×(-3)= -24$,$8×(-3)= -24$,所以$2×4×(-3)= 8×(-3)$

D

要验证“等式的两边乘同一个负数，所得结果仍相等”，需先有一个等式，再两边同乘负数。选项D中“2×4=8”是等式，两边同乘负数-3，结果均为-24，符合验证要求。A、B乘的是正数3，C未体现乘负数。

2. 等式就像平衡的天平,能与下图的事实具有相同性质的是()

A.如果$a = b$,那么$ac = bc$
B.如果$a = b$,那么$\frac{a}{c}= \frac{b}{c}(c≠0)$
C.如果$a = b$,那么$a + c = b + c$
D.如果$a = b$,那么$a^{2}= b^{2}$

C

图中天平初始平衡，两边同时添加相同小物体后仍平衡，体现等式两边同时加同一个数，等式仍成立。选项C“如果a=b，那么a+c=b+c”符合此性质。

3. 下列是根据等式的基本性质进行的变形,正确的是()
A.若$ax = ay$,则$x = y$
B.若$a - x = b + x$,则$a = b$
C.若$x = y$,则$x - 5 = y + 5$
D.若$a(x^{2}+1)= b(x^{2}+1)$,则$a = b$

D

A. 对于 $ax = ay$，当 $a \neq 0$ 时，可以两边同时除以 $a$，得到 $x = y$。
但题目没有给出 $a\neq 0$的条件，所以A选项错误；
B. 对于 $a - x = b + x$，应两边同时加$x$，得到$a = b + 2x$，所以B选项错误；
C. 对于 $x = y$，如果两边同时减5，应得到 $x - 5 = y - 5$，与 $x - 5 = y + 5$，不同，所以C选项错误；
D. 对于 $a(x^{2} + 1) = b(x^{2} + 1)$，因为 $x^{2} + 1$ 总是大于0（即不为0），所以可以两边同时除以 $x^{2} + 1$，得到 $a = b$。所以D选项正确。