登录
4. 如图24.4 - 23，将半径为$5$的圆剪去一个圆心角为$n^{\circ}$的扇形后，剩余部分围成圆锥，求$n$的值。
答案
4. 解:n=144.
解析
解：圆锥底面圆的半径为 $3$，则底面圆周长为 $2\pi × 3 = 6\pi$。
剩余扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，即 $6\pi$。
原圆的周长为 $2\pi × 5 = 10\pi$，剩余扇形的圆心角为 $(360 - n)^{\circ}$，其弧长公式为 $\frac{(360 - n)\pi × 5}{180}$。
则 $\frac{(360 - n)\pi × 5}{180} = 6\pi$，
两边同时除以 $\pi$：$\frac{(360 - n) × 5}{180} = 6$，
解得 $360 - n = \frac{6 × 180}{5} = 216$，
$n = 360 - 216 = 144$。
答：$n$的值为 $144$。
剩余扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，即 $6\pi$。
原圆的周长为 $2\pi × 5 = 10\pi$，剩余扇形的圆心角为 $(360 - n)^{\circ}$，其弧长公式为 $\frac{(360 - n)\pi × 5}{180}$。
则 $\frac{(360 - n)\pi × 5}{180} = 6\pi$，
两边同时除以 $\pi$：$\frac{(360 - n) × 5}{180} = 6$，
解得 $360 - n = \frac{6 × 180}{5} = 216$，
$n = 360 - 216 = 144$。
答：$n$的值为 $144$。
1. (江苏南通中考)如图24.4 - 24所示，扇形半径为$5\ cm$，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是$4\ cm$，则该圆锥的底面圆的周长是(
A.$3\pi\ cm$
B.$4\pi\ cm$
C.$5\pi\ cm$
D.$6\pi\ cm$
D
)A.$3\pi\ cm$
B.$4\pi\ cm$
C.$5\pi\ cm$
D.$6\pi\ cm$
答案
1.D
解析
设圆锥底面圆的半径为$r$。
圆锥的高$h = 4\ cm$，母线长$l = 5\ cm$（即扇形半径）。
由勾股定理得：$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\ cm$。
圆锥底面圆的周长$C = 2\pi r = 2\pi × 3 = 6\pi\ cm$。
D
圆锥的高$h = 4\ cm$，母线长$l = 5\ cm$（即扇形半径）。
由勾股定理得：$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\ cm$。
圆锥底面圆的周长$C = 2\pi r = 2\pi × 3 = 6\pi\ cm$。
D
2. 将一个圆心角是$90^{\circ}$的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积$S_{侧}$和底面积$S_{底}$的关系是(
A.$S_{侧}=S_{底}$
B.$S_{侧}=2S_{底}$
C.$S_{侧}=3S_{底}$
D.$S_{侧}=4S_{底}$
D
)A.$S_{侧}=S_{底}$
B.$S_{侧}=2S_{底}$
C.$S_{侧}=3S_{底}$
D.$S_{侧}=4S_{底}$
答案
2.D
解析
设扇形半径为$R$，圆锥底面半径为$r$。
扇形弧长：$\frac{90\pi R}{180}=\frac{\pi R}{2}$，此弧长等于圆锥底面周长，即$2\pi r=\frac{\pi R}{2}$，解得$r=\frac{R}{4}$。
圆锥侧面积：$S_{侧}=\frac{90\pi R^{2}}{360}=\frac{\pi R^{2}}{4}$。
圆锥底面积：$S_{底}=\pi r^{2}=\pi (\frac{R}{4})^{2}=\frac{\pi R^{2}}{16}$。
则$S_{侧}=4S_{底}$。
D
扇形弧长：$\frac{90\pi R}{180}=\frac{\pi R}{2}$，此弧长等于圆锥底面周长，即$2\pi r=\frac{\pi R}{2}$，解得$r=\frac{R}{4}$。
圆锥侧面积：$S_{侧}=\frac{90\pi R^{2}}{360}=\frac{\pi R^{2}}{4}$。
圆锥底面积：$S_{底}=\pi r^{2}=\pi (\frac{R}{4})^{2}=\frac{\pi R^{2}}{16}$。
则$S_{侧}=4S_{底}$。
D
3. (浙江宁波中考)如图24.4 - 25，圆锥的底面圆的半径$r$为$6\ cm$，高$h$为$8\ cm$，则圆锥的侧面积为(
A.$30\pi\ cm^{2}$
B.$48\pi\ cm^{2}$
C.$60\pi\ cm^{2}$
D.$80\pi\ cm^{2}$
C
)A.$30\pi\ cm^{2}$
B.$48\pi\ cm^{2}$
C.$60\pi\ cm^{2}$
D.$80\pi\ cm^{2}$
答案
3.C
解析
解：圆锥的母线长 $ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ cm $，
圆锥侧面积 $ S = \pi r l = \pi × 6 × 10 = 60\pi\ cm^2 $。
答案：C
圆锥侧面积 $ S = \pi r l = \pi × 6 × 10 = 60\pi\ cm^2 $。
答案：C
4. 要制作一个母线长为$8\ cm$，底面圆周长是$12\pi\ cm$的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是
48π cm²
。答案
4.48π cm²
解析
所需纸板的面积即为圆锥的侧面积。圆锥侧面积公式为$S = \frac{1}{2}l × C$（其中$l$为母线长，$C$为底面圆周长）。已知母线长$l = 8\ cm$，底面圆周长$C = 12\pi\ cm$，则侧面积$S=\frac{1}{2}×8×12\pi = 48\pi\ cm^2$。
$48\pi\ cm^2$
$48\pi\ cm^2$
5. (山东泰安中考)工人师傅用一张半径为$24\ cm$，圆心角为$150^{\circ}$的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为
2√119 cm
。答案
5.2√119 cm
解析
扇形的弧长公式为$l = \frac{n\pi R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），则该扇形的弧长为：
$l=\frac{150\pi×24}{180} = 20\pi\ cm$
圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，设圆锥底面圆的半径为$r$，则$2\pi r=20\pi$，解得$r = 10\ cm$。
圆锥的母线长等于扇形的半径，即$l = 24\ cm$，圆锥的高$h$、底面半径$r$和母线长$l$满足勾股定理$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$，则：
$h=\sqrt{24^{2}-10^{2}}=\sqrt{576 - 100}=\sqrt{476}=2\sqrt{119}\ cm$
$2\sqrt{119}\ cm$
$l=\frac{150\pi×24}{180} = 20\pi\ cm$
圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，设圆锥底面圆的半径为$r$，则$2\pi r=20\pi$，解得$r = 10\ cm$。
圆锥的母线长等于扇形的半径，即$l = 24\ cm$，圆锥的高$h$、底面半径$r$和母线长$l$满足勾股定理$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$，则：
$h=\sqrt{24^{2}-10^{2}}=\sqrt{576 - 100}=\sqrt{476}=2\sqrt{119}\ cm$
$2\sqrt{119}\ cm$
6. 已知一圆锥的侧面积恰好等于其底面积的$2$倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形的圆心角的度数。
答案
6. 解:对应扇形的圆心角的度数为180°.
解析
解：设圆锥底面半径为$r$，母线长为$l$，侧面展开图扇形的圆心角为$n^{\circ}$。
底面积$S_{底}=\pi r^{2}$，侧面积$S_{侧}=\pi rl$。
由题意得$\pi rl = 2\pi r^{2}$，化简得$l = 2r$。
圆锥侧面展开图扇形弧长等于底面周长，即$\frac{n\pi l}{180}=2\pi r$。
将$l = 2r$代入得$\frac{n\pi \cdot 2r}{180}=2\pi r$，解得$n = 180$。
答：该圆锥侧面展开图所对应扇形的圆心角的度数为$180^{\circ}$。
底面积$S_{底}=\pi r^{2}$，侧面积$S_{侧}=\pi rl$。
由题意得$\pi rl = 2\pi r^{2}$，化简得$l = 2r$。
圆锥侧面展开图扇形弧长等于底面周长，即$\frac{n\pi l}{180}=2\pi r$。
将$l = 2r$代入得$\frac{n\pi \cdot 2r}{180}=2\pi r$，解得$n = 180$。
答：该圆锥侧面展开图所对应扇形的圆心角的度数为$180^{\circ}$。
7. 现有$30\%$圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为$40\ cm$。小红打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作一个底面圆的半径为$10\ cm$的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，则剪去的扇形纸片的圆心角为(
A.$9^{\circ}$
B.$18^{\circ}$
C.$63^{\circ}$
D.$72^{\circ}$
B
)A.$9^{\circ}$
B.$18^{\circ}$
C.$63^{\circ}$
D.$72^{\circ}$
答案
7.B
解析
原扇形的圆心角：$360^{\circ}×30\% = 108^{\circ}$
圆锥底面周长：$2\pi×10 = 20\pi\ cm$
设剩下扇形的圆心角为$n$，则$\frac{n\pi×40}{180}=20\pi$
解得$n = 90^{\circ}$
剪去的扇形圆心角：$108^{\circ}-90^{\circ}=18^{\circ}$
B
圆锥底面周长：$2\pi×10 = 20\pi\ cm$
设剩下扇形的圆心角为$n$，则$\frac{n\pi×40}{180}=20\pi$
解得$n = 90^{\circ}$
剪去的扇形圆心角：$108^{\circ}-90^{\circ}=18^{\circ}$
B
8. 在$Rt\triangle ABC$中，已知$AB = 6$，$AC = 8$，$\angle A = 90^{\circ}$。如果把$Rt\triangle ABC$绕直线$AC$旋转一周得到一个圆锥，其全面积为$S_{1}$；把$Rt\triangle ABC$绕直线$AB$旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为$S_{2}$。那么$S_{1}:S_{2}$等于(
A.$2:3$
B.$3:4$
C.$4:9$
D.$5:12$
A
)A.$2:3$
B.$3:4$
C.$4:9$
D.$5:12$
答案
8.A
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$AC = 8$。
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
绕直线$AC$旋转一周（$S_{1}$）：
底面半径$r_{1}=AB = 6$，母线长$l_{1}=BC = 10$。
底面积：$\pi r_{1}^{2}=\pi×6^{2}=36\pi$。
侧面积：$\pi r_{1}l_{1}=\pi×6×10 = 60\pi$。
$S_{1}=36\pi+60\pi=96\pi$。
绕直线$AB$旋转一周（$S_{2}$）：
底面半径$r_{2}=AC = 8$，母线长$l_{2}=BC = 10$。
底面积：$\pi r_{2}^{2}=\pi×8^{2}=64\pi$。
侧面积：$\pi r_{2}l_{2}=\pi×8×10 = 80\pi$。
$S_{2}=64\pi+80\pi=144\pi$。
面积比：
$S_{1}:S_{2}=96\pi:144\pi=2:3$。
A
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
绕直线$AC$旋转一周（$S_{1}$）：
底面半径$r_{1}=AB = 6$，母线长$l_{1}=BC = 10$。
底面积：$\pi r_{1}^{2}=\pi×6^{2}=36\pi$。
侧面积：$\pi r_{1}l_{1}=\pi×6×10 = 60\pi$。
$S_{1}=36\pi+60\pi=96\pi$。
绕直线$AB$旋转一周（$S_{2}$）：
底面半径$r_{2}=AC = 8$，母线长$l_{2}=BC = 10$。
底面积：$\pi r_{2}^{2}=\pi×8^{2}=64\pi$。
侧面积：$\pi r_{2}l_{2}=\pi×8×10 = 80\pi$。
$S_{2}=64\pi+80\pi=144\pi$。
面积比：
$S_{1}:S_{2}=96\pi:144\pi=2:3$。
A
9. 已知圆锥的底面圆的半径为$r = 20\ cm$，高$h = 20\sqrt{15}\ cm$，现在有一只蚂蚁从底边上一点$A$出发。在侧面上爬行一周又回到$A$点，求蚂蚁爬行的最短距离。
答案
9. 解:蚂蚁爬行的最短距离为80√2 cm.
解析
解:圆锥底面周长为$2\pi r = 40\pi\ cm$，母线长$l=\sqrt{r^2 + h^2}=\sqrt{20^2+(20\sqrt{15})^2}=80\ cm$。侧面展开图扇形弧长$40\pi=\frac{n\pi l}{180}$，解得圆心角$n = 90°$。最短距离为展开图中扇形两半径端点连线长，即$\sqrt{l^2 + l^2}=80\sqrt{2}\ cm$。
蚂蚁爬行的最短距离为$80\sqrt{2}\ cm$。
蚂蚁爬行的最短距离为$80\sqrt{2}\ cm$。
10. 如图24.4 - 26所示，有一直径是$\sqrt{2}\ m$的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是$90^{\circ}$的最大扇形$ABC$。
（1）求$AB$的长；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径。
（1）求$AB$的长；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径。
答案
1. （1）
解：因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$BC$为圆的直径，$BC=\sqrt{2}\ m$。
根据勾股定理$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，又因为$AB = AC$（圆周角是$90^{\circ}$的扇形，$AB$、$AC$为半径相等）。
设$AB = AC=x$，则$2x^{2}=(\sqrt{2})^{2}$，即$2x^{2}=2$，$x^{2}=1$，解得$x = 1$（$x=-1$舍去）。
所以$AB$的长为$1m$。
2. （2）
解：扇形的弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角，$r$是半径），此扇形圆心角$n = 90^{\circ}$，半径$r = AB = 1m$。
则扇形弧长$l=\frac{90\pi×1}{180}=\frac{\pi}{2}$。
设圆锥底面圆半径为$R$，根据圆锥底面圆周长$C = 2\pi R$（圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长）。
由$2\pi R=\frac{\pi}{2}$，解得$R=\frac{1}{4}$。
综上，（1）$AB$的长为$1m$；（2）所得圆锥底面圆半径为$\frac{1}{4}m$。
解：因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$BC$为圆的直径，$BC=\sqrt{2}\ m$。
根据勾股定理$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，又因为$AB = AC$（圆周角是$90^{\circ}$的扇形，$AB$、$AC$为半径相等）。
设$AB = AC=x$，则$2x^{2}=(\sqrt{2})^{2}$，即$2x^{2}=2$，$x^{2}=1$，解得$x = 1$（$x=-1$舍去）。
所以$AB$的长为$1m$。
2. （2）
解：扇形的弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角，$r$是半径），此扇形圆心角$n = 90^{\circ}$，半径$r = AB = 1m$。
则扇形弧长$l=\frac{90\pi×1}{180}=\frac{\pi}{2}$。
设圆锥底面圆半径为$R$，根据圆锥底面圆周长$C = 2\pi R$（圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长）。
由$2\pi R=\frac{\pi}{2}$，解得$R=\frac{1}{4}$。
综上，（1）$AB$的长为$1m$；（2）所得圆锥底面圆半径为$\frac{1}{4}m$。
