7. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在线段OB上,OC:BC= 1:2,连接AC,过点O作OP//AB交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是 ()
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3

C

设点A(a,0)(a＜0)，B(0,b)(b＞0)，由OC:BC=1:2得C(0,b/3)。
∵OP//AB，P(1,1)，∴OP斜率为1，AB斜率k_AB=-b/a=1，即b=-a。
直线AC：过A(a,0)、C(0,b/3)，斜率k_AC=(b/3)/(-a)=-b/(3a)=1/3（∵b=-a）。
直线AC方程：y=(1/3)(x-a)，将P(1,1)代入得1=(1/3)(1-a)，解得a=-2。
∴A(-2,0)，AP斜率k=(1-0)/(1+2)=1/3，即tan∠OAP=1/3。

8. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图,则tan∠BAC的值为 ()
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

C

在正方形网格中，取点$D$使$AD$为水平方向，$CD$为竖直方向，连接$CD$。设网格中每个小正方形边长为$1$，则$AD=3$，$CD=1$。在$Rt\triangle ADC$中，$\tan\angle BAC = \frac{CD}{AD} = \frac{1}{3}$。
C

9. 如图,在矩形ABCD中,AB= 10,BC= 8,E为边AD上一点,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在边AB上,求tan∠AFE.

$\frac{3}{4}$

设点D对折后落在AB上的点为F，连接CF，EF。
由折叠性质得：CF=CD=AB=10，DE=EF。
在Rt△BCF中，BC=8，CF=10，根据勾股定理得：BF=$\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，则AF=AB-BF=10-6=4。
设DE=EF=x，则AE=AD-DE=8-x。
在Rt△AEF中，AE=8-x，AF=4，EF=x，根据勾股定理得：$(8-x)^2+4^2=x^2$，解得x=5。
所以AE=8-5=3。
在Rt△AEF中，tan∠AFE=$\frac{AE}{AF}=\frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$

10. 如图,在△ABC中,∠C= 150°,AC= 4,tanB= $\frac{1}{8}$.
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值.(精确到0.1,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.4$,$\sqrt{3}\approx1.7$,$\sqrt{5}\approx2.2$)

(1) 延长BC至点D，过A作AD⊥BD于D。
∵∠ACB=150°，∴∠ACD=30°。
在Rt△ACD中，AC=4，∠ACD=30°，
∴AD=AC·sin30°=4×1/2=2，
CD=AC·cos30°=4×(√3/2)=2√3。
设BC=x，则BD=BC+CD=x+2√3。
在Rt△ABD中，tanB=AD/BD=1/8，
∴2/(x+2√3)=1/8，解得x=16-2√3≈16-2×1.7=12.6。
∴BC≈12.6。
(2) 在CD上取点E，使ED=AD=2，连接AE。
∵AD⊥BD，ED=AD，∴△ADE为等腰直角三角形，∠AED=45°。
∵∠AED是△AEC的外角，∴∠AED=∠ACE+∠CAE。
∵∠ACE=30°，∴∠CAE=45°-30°=15°。
过E作EF⊥AC于F。
EC=CD-ED=2√3-2。
在Rt△EFC中，EF=EC·sin30°=(2√3-2)×1/2=√3-1，
FC=EC·cos30°=(2√3-2)×(√3/2)=3-√3。
AF=AC-FC=4-(3-√3)=1+√3。
在Rt△AFE中，tan∠CAE=EF/AF=(√3-1)/(1+√3)=2-√3≈2-1.7=0.3。
∴tan15°≈0.3。