【例4】如图所示,一根长$2.5米的木棍AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON$上,此时$OB的距离为0.7$米,设木棍的中点为$P$。若木棍$A$端沿墙下滑,且$B$端沿地面向右滑行。

(1)如果木棍的顶端$A沿墙下滑0.4$米,那么木棍的底端$B$向外移动多长距离？
(2)请判断木棍滑动的过程中,点$P到点O$的距离是否变化,并简述理由。
(3)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,$\triangle AOB$的面积最大？简述理由,并求出面积的最大值。

(1)$0.8$米；(2)不变；(3)等腰直角三角形时面积最大，最大值为$\frac{25}{16}\,m^2$。

(1)在$Rt\triangle ABO$中，$AB=2.5$米，$BO=0.7$米，由勾股定理得$AO=\sqrt{AB^2 - BO^2}=\sqrt{2.5^2 - 0.7^2}=2.4$米。顶端$A$下滑$0.4$米后，$OC=AO - 0.4=2.4 - 0.4=2$米。在$Rt\triangle CDO$中，$CD=AB=2.5$米，$OD=\sqrt{CD^2 - OC^2}=\sqrt{2.5^2 - 2^2}=1.5$米，所以$BD=OD - OB=1.5 - 0.7=0.8$米。
(2)不变。理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，$AB$长度不变，$P$为$AB$中点，所以$OP=\frac{1}{2}AB$，故点$P$到点$O$的距离不变。
(3)当$\triangle AOB$为等腰直角三角形时面积最大。因为直角三角形面积$S=\frac{1}{2}AO· BO$，由勾股定理$AO^2 + BO^2=AB^2=2.5^2=6.25$，根据均值不等式$AO^2 + BO^2\geq 2AO· BO$，即$6.25\geq 2AO· BO$，所以$AO· BO\leq\frac{6.25}{2}=\frac{25}{8}$，则$S=\frac{1}{2}AO· BO\leq\frac{25}{16}$平方米，当且仅当$AO=BO$时等号成立，此时为等腰直角三角形，面积最大值为$\frac{25}{16}$平方米。