6. 如图,D 是△ABC 的边 AB 上一点,连结 CD,若 AD= 2,BD= 4,∠ACD= ∠B,求 AC 的长.

在$\triangle ACD$和$\triangle ABC$中，
$\begin{cases}\angle A=\angle A,\\\angle ACD=\angle B.\end{cases}$
根据相似三角形的判定定理：两角对应相等的三角形为相似三角形。
可得：$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。
根据相似三角形的性质：对应边成比例。
可得：$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
已知$AD=2$，$BD=4$，所以$AB=AD+BD=2+4=6$。
代入上面的比例式：$\frac{AC}{6}=\frac{2}{AC}$。
即$AC^2=12$，因为$AC$为正数，所以$AC=2\sqrt{3}$。
综上，$AC$的长为$2\sqrt{3}$。

7. 如图,AB//EF//DC,AD//BC,EF 与 AC 交于点 G,则图中相似三角形共有()

A.3对
B.5对
C.6对
D.8对

C

∵AB//EF//DC，AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴△AEG∽△ADC，△CGF∽△CAB，△AEG∽△CFB，△CGF∽△AED，△ADC∽△CBA，△AEG∽△CBA
共有6对相似三角形。
C

8. 如图,在正方形 ABCD 中,M 为 BC 上一点,ME⊥AM,ME 交 AD 的延长线于点 E. 若 AB= 12,BM= 5,则 DE 的长为()

A.18
B.$\frac{109}{5}$
C.$\frac{96}{5}$
D.$\frac{25}{3}$

B

∵四边形ABCD是正方形，AB=12，
∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠BAD=∠ADC=90°，AD//BC。
∵BM=5，
∴MC=BC-BM=12-5=7。
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠BMA+∠CME=90°。
∵∠B=90°，
∴∠BAM+∠BMA=90°，
∴∠BAM=∠CME。
∵AD//BC，
∴∠E=∠CME，
∴∠BAM=∠E。
∵∠B=∠ADE=90°，
∴△ABM∽△EDA。
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BM}{AD}$。
∵AB=12，BM=5，AD=12，
∴$\frac{12}{DE}=\frac{5}{12}$，
解得$DE=\frac{144}{5}$。
1

9. 如图,在□ABCD 中,点 E 在 DC 上,若 DE:EC= 1:2,则 BF:BE=.

3:5

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠ABF=∠CEF，∠BAF=∠ECF，
∴△ABF∽△CEF，
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{AB}{CE}$，
∵DE:EC=1:2，
∴设DE=x，EC=2x，则CD=DE+EC=3x，
∵AB=CD，
∴AB=3x，
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$，
设BF=3k，EF=2k，则BE=BF+EF=5k，
∴$\frac{BF}{BE}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$，
即BF:BE=3:5.

10. 如图,AC 是⊙O 的直径,弦 BD⊥AO 于点 E,连结 BC,过点 O 作 OF⊥BC 于点 F,若 BD= 8cm,AE= 2cm,则 OF 的长度是__________.

$\sqrt{5}$

设⊙O的半径为$r$cm，则$AO = CO = r$cm。
∵$AE = 2$cm，
∴$OE = AO - AE = (r - 2)$cm。
∵$BD⊥AO$，$BD = 8$cm，
∴$BE=\frac{1}{2}BD = 4$cm。
在$Rt△BOE$中，$OB^2 = BE^2 + OE^2$，即$r^2 = 4^2 + (r - 2)^2$，解得$r = 5$。
∴$AC = 2r = 10$cm，$OE = 5 - 2 = 3$cm，$EC = EO + OC = 3 + 5 = 8$cm。
在$Rt△BEC$中，$BC = \sqrt{BE^2 + EC^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$cm。
∵$OF⊥BC$，
∴$CF = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{5}$cm。
在$Rt△OFC$中，$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5}$cm。
$\sqrt{5}$

11. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= $\sqrt{3}$,BC= $\sqrt{6}$,点 E 在对角线 BD 上,且 BE= 1.8,连结 AE 并延长交 DC 于点 F,则$\frac{CF}{CD}$=.

$\frac {1}{3}$

在矩形$ABCD$中，$AB// CD$，$AB = CD=\sqrt{3}$，$BC=\sqrt{6}$。
在$Rt\triangle BCD$中，$BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6 + 3}=\sqrt{9}=3$。
因为$BE = 1.8$，所以$DE=BD - BE=3-1.8 = 1.2$。
由于$AB// CD$，所以$\triangle ABE\sim\triangle FDE$，则$\frac{AB}{FD}=\frac{BE}{DE}$。
即$\frac{\sqrt{3}}{FD}=\frac{1.8}{1.2}=\frac{3}{2}$，解得$FD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
$CF=CD - FD=\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
所以$\frac{CF}{CD}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$