9. 若三点 $(1,4),(2,7),(a,10)$ 在同一直线上,则 a 的值等于()
A.-1
B.0
C.3
D.4

C

设经过点$(1,4)$和$(2,7)$的直线解析式为$y = kx + b$。
将$(1,4)$代入得：$k + b = 4$；将$(2,7)$代入得：$2k + b = 7$。
联立方程$\begin{cases}k + b = 4\\2k + b = 7\end{cases}$，解得$k = 3$，$b = 1$，直线解析式为$y = 3x + 1$。
将$(a,10)$代入$y = 3x + 1$，得$3a + 1 = 10$，解得$a = 3$。
C

10. 将直线 $ y= -2x $ 向下平移一个单位长度,所得直线的函数表达式为()
A.$ y= -2x+1 $
B.$ y= -2x-1 $
C.$ y= -2x+2 $
D.$ y= -2x-2 $

B

直线平移规律：上加下减。
将直线$y = -2x$向下平移一个单位长度，在$y$值上减去$1$，所得直线的函数表达式为$y = -2x - 1$。
B

11. 直线 $ y= 2x+b $ 与直线 $ y= -\frac{1}{4}x-3 $ 交于 y 轴上一点,则 $ b= $。

-3

直线$y=-\frac{1}{4}x - 3$与$y$轴相交时，$x=0$，代入得$y=-3$，故交点坐标为$(0,-3)$。
因为直线$y = 2x + b$也过点$(0,-3)$，将$x=0$，$y=-3$代入$y = 2x + b$，得$-3=2×0 + b$，解得$b=-3$。
$-3$

12. 已知一次函数 $ y= -\frac{1}{2}x+1 $,它的图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B。
(1)直接写出点 A 的坐标,点 B 的坐标。
(2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象。
(3)求把该函数图象向下平移 3 个单位长度后得到的图象与坐标轴围成的图形的面积。

（1）
令$y = 0$，则$0=-\frac{1}{2}x + 1$，解得$x = 2$，所以$A(2,0)$；
令$x = 0$，则$y = 1$，所以$B(0,1)$。
（2）
在坐标系中描出点$A(2,0)$和$B(0,1)$，过这两点作直线，即为函数$y = -\frac{1}{2}x + 1$的图象。
（3）
函数$y = -\frac{1}{2}x + 1$向下平移$3$个单位长度后得到$y = -\frac{1}{2}x + 1 - 3=-\frac{1}{2}x - 2$。
令$x = 0$，$y = - 2$；令$y = 0$，$0=-\frac{1}{2}x - 2$，解得$x = - 4$。
围成的图形是三角形，底为$\vert - 4\vert = 4$，高为$\vert - 2\vert = 2$，面积$S=\frac{1}{2}×4×2 = 4$。
故答案为：(1)$(2,0)$；$(0,1)$ (3) $4$。

13. 在平面直角坐标系 xOy 中,函数 $ y= kx+b(k≠0) $ 的图象经过点 $(4,3)$,$(-2,0)$,且与 y 轴交于点 A。
(1)求该函数的表达式及点 A 的坐标。
(2)当 $ x＞0 $ 时,对于 x 的每一个值,函数 $ y= x+n $ 的值大于函数 $ y= kx+b(k≠0) $ 的值,直接写出 n 的取值范围。

(1)
已知函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象经过点$(4,3)$，$(-2,0)$，
将点代入函数可得$\begin{cases}4k + b = 3\\-2k + b = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$得：
$(4k + b)-(-2k + b)=3 - 0$
$4k + b + 2k - b = 3$
$6k = 3$
解得$k=\frac{1}{2}$
把$k = \frac{1}{2}$代入$-2k + b = 0$得：
$-2×\frac{1}{2}+b = 0$
$-1 + b = 0$
解得$b = 1$
所以该函数表达式为$y=\frac{1}{2}x + 1$
当$x = 0$时，$y=\frac{1}{2}×0 + 1 = 1$，所以点$A$的坐标为$(0,1)$
(2)
因为当$x＞0$时，对于$x$的每一个值，函数$y = x + n$的值大于函数$y=\frac{1}{2}x + 1$的值，
即$x + n＞\frac{1}{2}x + 1$对$x＞0$恒成立，
移项可得$n＞\frac{1}{2}x + 1 - x$，
$n＞-\frac{1}{2}x + 1$对$x＞0$恒成立，
因为$-\frac{1}{2}＜0$，$y = -\frac{1}{2}x + 1$在$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，
当$x = 0$时，$y = 1$，
所以$n\geqslant1$。
综上，答案为(1)$y=\frac{1}{2}x + 1$，$A(0,1)$；(2)$n\geqslant1$。