18. 如图,在正方形 ABCD 中,BC= 2,M 是 AB 的中点,连接 DM,DM 与 AC 交于点 P,点 E 在 DC 上,点 F 在 DP 上.若∠DFE= 45°,PF= $\frac{\sqrt{5}}{6}$,则 CE 的长为.

7/6

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系。正方形ABCD中，BC=2，各点坐标：A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(1,0)。
直线DM：y=-2x+2；直线AC：y=x。交点P(2/3,2/3)。
DP=√[(2/3)²+(2/3-2)²]=2√5/3，DF=DP-PF=2√5/3 - √5/6=√5/2。
设F(t,-2t+2)，DF=√[t²+(-2t)²]=t√5=√5/2，得t=1/2，故F(1/2,1)。
设E(m,2)，∠DFE=45°，由余弦定理：DE²=FD²+FE²-2·FD·FE·cos45°。
DE=m，FD=√5/2，FE=√[(m-1/2)²+1]，代入得m²=(5/4)+[(m-1/2)²+1]-2·(√5/2)·√[(m-1/2)²+1]·(√2/2)。
化简得12m²+20m-25=0，解得m=5/6（舍负）。CE=2 - 5/6=7/6。

19. (本小题 6 分)如图,屋架跨度的一半 OP= 5 m,高度 OQ= 2.5 m.现要在屋顶上开一个天窗,AB 在水平位置,且 AB= 2.4 m.求天窗高度 AC 的长.

1.2m

解：由题意知，OP=5m，OQ=2.5m，OQ⊥OP，AB=2.4m，AB//OP，AC为天窗高度（AC⊥PQ）。
∵AB//OP，∠Q为公共角，
∴△QAB∽△QPO（两角对应相等，两三角形相似）。
相似比为：$\frac{AB}{OP}=\frac{2.4}{5}=\frac{12}{25}$。
∵△QAB与△QPO的对应高之比等于相似比，△QPO的高为OQ=2.5m，
∴△QAB的高为$2.5×\frac{12}{25}=1.2$m。
则天窗高度AC=1.2m。

20. (本小题 10 分)如图,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,过点 C 作⊙O 的切线 l,过点 A 作 AD⊥切线 l,垂足为 D,连接 AC,BC.
(1) 求证:△ABC∽△ACD;
(2) 若 AC= 5,CD= 4,求⊙O 的半径.

(1) 见解析；(2) 25/6．

(1) 证明：
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°．
∵l是⊙O切线，∴OC⊥l，又AD⊥l，∴OC//AD，∴∠OCA=∠CAD．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAD．
在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，
∠ABC=90°-∠OAC，∠ACD=90°-∠CAD，∴∠ABC=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD（AA）．
(2) 在Rt△ADC中，AD=√(AC²-CD²)=√(5²-4²)=3．
∵△ABC∽△ACD，∴AB/AC=AC/AD，
∴AB=AC²/AD=5²/3=25/3，
∴⊙O半径为AB/2=25/6．