6. 如图,从一个大正方形中截去面积为 $3\ cm^2$ 和 $12\ cm^2$ 的两个小正方形.若随机向大正方形内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为()

A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{3}{5}$

B

∵两个小正方形面积为$3\,cm^2$和$12\,cm^2$，
∴边长分别为$\sqrt{3}\,cm$和$2\sqrt{3}\,cm$（$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$）。
大正方形边长为$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\,cm$，
大正方形面积为$(3\sqrt{3})^2=27\,cm^2$。
阴影部分面积为$27-12-3=12\,cm^2$。
概率为$\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$。

7. 某校七、八年级分别从甲、乙、丙三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看,则这两个年级选择的影片相同的概率为()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$

B

七年级和八年级各自有3种选择，总共有$3 × 3 = 9$种可能的组合。
两个年级选择相同影片的情况有3种（都选甲、都选乙、都选丙）。
因此，概率为$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

8. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过 1,那么称该三位数为“平稳数”.用 1,2,3 这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,且恰好是“平稳数”的概率为()
A.$\frac{5}{9}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{9}$

C

首先，用1，2，3这三个数字可以组成的无重复数字的三位数有：
$123$，$132$，$213$，$231$，$312$，$321$，共6种可能。
接下来，根据“平稳数”的定义，检查每个三位数是否满足条件：
$123$：$|1-2|=1$，$|2-3|=1$，满足条件。
$132$：$|1-3|=2$，不满足条件。
$213$：$|2-1|=1$，$|1-3|=2$，不满足条件。
$231$：$|2-3|=1$，$|3-1|=2$，不满足条件。
$312$：$|3-1|=2$，不满足条件。
$321$：$|3-2|=1$，$|2-1|=1$，满足条件。
因此，满足条件的“平稳数”有2种，即$123$和$321$。
所以，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，且恰好是“平稳数”的概率为：
$P = \frac{满足条件的三位数数量}{所有可能的三位数数量} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

9. 投掷一枚质地均匀的骰子两次,向上一面的点数依次记为 $a,b$.那么方程 $x^2+ax+b= 0$ 有解的概率是()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{8}{15}$
D.$\frac{19}{36}$

D

要使方程$x^2 + ax + b = 0$有解，需要满足判别式$\Delta = a^2 - 4b \geq 0$。
投掷骰子两次，$a$和$b$的取值范围均为$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，总情况数为$6 × 6 = 36$。
依次分析$a$的取值，计算满足$a^2 - 4b \geq 0$的$b$的个数：
当$a = 1$时，$1 - 4b \geq 0 \Rightarrow b \leq 0.25$，无解。
当$a = 2$时，$4 - 4b \geq 0 \Rightarrow b \leq 1$，只有$b = 1$，共1种情况。
当$a = 3$时，$9 - 4b \geq 0 \Rightarrow b \leq 2.25$，$b = 1, 2$，共2种情况。
当$a = 4$时，$16 - 4b \geq 0 \Rightarrow b \leq 4$，$b = 1, 2, 3, 4$，共4种情况。
当$a = 5$时，$25 - 4b \geq 0 \Rightarrow b \leq 6.25$，$b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$，共6种情况。
当$a = 6$时，$36 - 4b \geq 0 \Rightarrow b \leq 9$，$b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$，共6种情况。
满足条件的总情况数为$0 + 1 + 2 + 4 + 6 + 6 = 19$。
概率为$\frac{19}{36}$。

10. 一个不透明的袋中有 20 个球,其中白球 $x$ 个,绿球 $2x$ 个,其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球,则甲获胜;甲摸出的球放回袋中,乙从袋中摸出一个球,若为黑球,则乙获胜.若该游戏规则对甲、乙双方公平,则 $x$ 的值为()
A.3
B.4
C.5
D.6

B

袋中总球数为20，白球$x$个，绿球$2x$个，黑球数为$20 - x - 2x = 20 - 3x$。
甲获胜的概率：$P_1 = \frac{2x}{20} = \frac{x}{10}$，
乙获胜的概率：$P_2 = \frac{20 - 3x}{20}$，
若游戏公平，则$P_1 = P_2$，即：
$\frac{x}{10} = \frac{20 - 3x}{20}$，
两边同时乘以20得：
$2x = 20 - 3x$，
移项并合并同类项得：
$5x = 20$，
解得：
$x = 4$。

11. 投掷一枚质地均匀的正六面体骰子(六个面上分别刻有 1～6 的点数),投掷一次,朝上一面的点数为奇数的概率是.

$\frac{1}{2}$（或填0.5或五0（此处按照常规填写分数形式$\frac{1}{2}$）

投掷一枚正六面体骰子，总共有6种等可能的结果，即点数1、2、3、4、5、6。其中奇数点数为1、3、5，共3种情况。因此，朝上一面的点数为奇数的概率为奇数情况数除以总情况数，即$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。