23. (本小题12分)定义:已知反比例函数$y= \frac{a}{x}和y= \frac{b}{x}$,当$k= \frac{a+b}{2}$且a+b≠0时,称$y= \frac{k}{x}$为这两个函数的“均值函数”.
(1)反比例函数$y= \frac{2}{x}和y= \frac{6}{x}$的“均值函数”是.
(2)点(-2,1)是否在反比例函数$y= \frac{a^2}{x}和y= \frac{a+1}{x}$的“均值函数”的图象上?请说明理由.

(3)如图,b＞a＞0,反比例函数$y= \frac{a}{x}和y= \frac{b}{x}$的“均值函数”为$y= \frac{3}{x}$,点P(m,n)在反比例函数$y= \frac{3}{x}$第一象限的图象上,过点P分别作x轴、y轴的垂线,与反比例函数$y= \frac{a}{x}和y= \frac{b}{x}$的图象交于点B,A,C,D.求证:BC= AD.

(1) $y=\frac{4}{x}$
(2) 不在。理由如下：
由定义，均值函数的$k=\frac{a^2+(a+1)}{2}=\frac{a^2+a+1}{2}$，故均值函数为$y=\frac{a^2+a+1}{2x}$。若点$(-2,1)$在图象上，则$1=\frac{a^2+a+1}{2×(-2)}$，即$a^2+a+5=0$。判别式$\Delta=1^2-4×1×5=-19＜0$，方程无实根，故点$(-2,1)$不在该函数图象上。
(3) 证明：
由均值函数定义，$\frac{a+b}{2}=3$，即$a+b=6$。
点$P(m,n)$在$y=\frac{3}{x}$上，故$mn=3$。
过$P$作$x$轴垂线$x=m$，交$y=\frac{b}{x}$于$A(m,\frac{b}{m})$，交$y=\frac{a}{x}$于$B(m,\frac{a}{m})$；
过$P$作$y$轴垂线$y=n$，交$y=\frac{a}{x}$于$C(\frac{a}{n},n)$，交$y=\frac{b}{x}$于$D(\frac{b}{n},n)$。
计算$BC^2$：
$m-\frac{a}{n}=m-\frac{a}{\frac{3}{m}}=\frac{m(3-a)}{3}$，$\frac{a}{m}-n=\frac{a-3}{m}$，
$BC^2=\left(\frac{m(3-a)}{3}\right)^2+\left(\frac{a-3}{m}\right)^2=(3-a)^2\left(\frac{m^2}{9}+\frac{1}{m^2}\right)$。
计算$AD^2$：
$m-\frac{b}{n}=m-\frac{b}{\frac{3}{m}}=\frac{m(3-b)}{3}$，$\frac{b}{m}-n=\frac{b-3}{m}$，
$AD^2=\left(\frac{m(3-b)}{3}\right)^2+\left(\frac{b-3}{m}\right)^2=(3-b)^2\left(\frac{m^2}{9}+\frac{1}{m^2}\right)$。
因$a+b=6$，则$3-b=a-3$，故$(3-a)^2=(3-b)^2$，从而$BC^2=AD^2$，即$BC=AD$。