20. (本小题8分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,过点D作DE//AC,交AB于点E.求证:E为AB的中点.

证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DE//AC，
∴∠ADE=∠CAD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠ADE=∠BAD（等量代换）．
∴AE=DE（等角对等边）．
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°．
∴∠ABD+∠BAD=90°（直角三角形两锐角互余），
∠EDB+∠ADE=90°（平角定义）．
∵∠ADE=∠BAD，
∴∠EDB=∠ABD（同角的余角相等）．
∴DE=BE（等角对等边）．
∵AE=DE，DE=BE，
∴AE=BE．
∴E为AB的中点．

21. (本小题10分)如图,在△ABC中,AB= AC,点B关于直线AC的对称点为D,点C关于直线AB的对称点为E,连接BD,CE交于点F,连接AD,AE,连接AF并延长,交BC于点G.
(1)根据题意补全图形;
(2)求证:∠EAG= ∠DAG.

(1) 补全图形如下：
（此处需根据题意画出图形，点D为B关于AC的对称点，点E为C关于AB的对称点，连接各线段）
(2) 证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵D是B关于AC的对称点，
∴AC垂直平分BD，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，同理AE=AC，∠BAE=∠BAC，
∴AD=AE，∠DAE=∠DAC+∠BAC+∠BAE=3∠BAC．
∵AD=AB=AC=AE，
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC．
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD，∠ACE=∠ACB+∠BCE，
又
∵AC垂直平分BD，
∴CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
同理BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ADB=∠AEC．
在△ADF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AE\\ \angle ADF=\angle AEF\\ DF=EF\end{array}\right.$（可证△BDC≌△CEB得BD=CE，进而DF=EF）
∴△ADF≌△AEF(SAS)，
∴∠DAF=∠EAF，即∠EAG=∠DAG．