21. (本小题 6 分)已知$3x^{2}-2x-3= 0$,求$(x-1)^{2}+x\left(x+\frac{2}{3}\right)$的值.

3

$(x-1)^{2}+x\left(x+\frac{2}{3}\right)$
$=x^{2}-2x+1+x^{2}+\frac{2}{3}x$
$=2x^{2}-\frac{4}{3}x+1$
$=\frac{2}{3}(3x^{2}-2x)+1$
因为$3x^{2}-2x-3=0$，所以$3x^{2}-2x=3$。
将$3x^{2}-2x=3$代入上式，得：
$\frac{2}{3}×3 + 1 = 2 + 1 = 3$
3

22. (本小题 8 分)已知$a= m^{2}+n^{2},b= m^{2},c= mn$,且$m＞n＞0$.
(1)比较 a,b,c 的大小;
(2)请说明以 a,b,c 为三边长的三角形一定存在.

(1) 因为$a = m^2 + n^2$，$b = m^2$，且$n ＞ 0$，所以$a - b = n^2 ＞ 0$，即$a ＞ b$。
因为$b = m^2$，$c = mn$，$m ＞ 0$，$m ＞ n$，所以$b - c = m^2 - mn = m(m - n) ＞ 0$，即$b ＞ c$。
综上，$a ＞ b ＞ c$。
(2) 要使以$a$，$b$，$c$为三边长的三角形存在，需满足三角形三边关系。由(1)知$a ＞ b ＞ c$，故只需证$b + c ＞ a$。
$b + c - a = m^2 + mn - (m^2 + n^2) = mn - n^2 = n(m - n)$。
因为$m ＞ n ＞ 0$，所以$n(m - n) ＞ 0$，即$b + c ＞ a$。
又因为$a + b ＞ c$，$a + c ＞ b$显然成立，故以$a$，$b$，$c$为三边长的三角形一定存在。