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1. 某长江大桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁,其侧面示意图如图所示,其中 $ AB \perp CD $,现添加以下条件,不能判定 $ \triangle ABC \cong \triangle ABD $ 的是(
A.$ \angle ACB = \angle ADB $
B.$ AB = BD $
C.$ AC = AD $
D.$ \angle CAB = \angle DAB $
B
)A.$ \angle ACB = \angle ADB $
B.$ AB = BD $
C.$ AC = AD $
D.$ \angle CAB = \angle DAB $
答案
B
解析
∵AB⊥CD，
∴∠ABC=∠ABD=90°，AB为公共边。
A.∠ACB=∠ADB，AAS可证全等；
B.AB=BD，两边及其中一边的对角对应相等，不能判定全等；
C.AC=AD，HL可证全等；
D.∠CAB=∠DAB，ASA可证全等。
B
2. 如图,$ D $ 是 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $ 上的中点,$ DE \perp AC $,$ DF \perp AB $,垂足分别为 $ E $,$ F $,且 $ BF = CE $. 求证：$ \angle B = \angle C $.
答案
证明:
∵D是△ABC的边BC上的中点，
∴BD=CD.在Rt△BFD和Rt△CED中,{BD=CD,BF=CE,
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL),
∴∠B=∠C.
∵D是△ABC的边BC上的中点，
∴BD=CD.在Rt△BFD和Rt△CED中,{BD=CD,BF=CE,
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL),
∴∠B=∠C.
3. 如图,已知 $ AB = AE $,$ BC = ED $,$ \angle B = \angle E $,$ AF \perp CD $,$ F $ 为垂足. 求证：$ CF = DF $.
答案
证明:如图，连接AC,AD.在△ABC和△AED中,{AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD.又
∵AF⊥CD,
∴∠AFC=∠AFD=90°,在Rt△ACF和Rt△ADF中,{AC=AD,AF=AF,
∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL),
∴CF=DF.
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD.又
∵AF⊥CD,
∴∠AFC=∠AFD=90°,在Rt△ACF和Rt△ADF中,{AC=AD,AF=AF,
∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL),
∴CF=DF.
1. 如图,$ \angle E = \angle F = 90° $,$ AB = AC $,$ AE = AF $,则 $ \angle 1 $ 与 $ \angle 2 $ 的大小关系是(
A.$ \angle 1 = \angle 2 $
B.$ \angle 1 ＞ \angle 2 $
C.$ \angle 1 ＜ \angle 2 $
D.无法确定
A
)A.$ \angle 1 = \angle 2 $
B.$ \angle 1 ＞ \angle 2 $
C.$ \angle 1 ＜ \angle 2 $
D.无法确定
答案
A
解析
在$Rt\triangle AEC$和$Rt\triangle AFB$中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AB\\ AE=AF\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle AEC≌Rt\triangle AFB(HL)$
$\therefore \angle EAC=\angle FAB$
$\because \angle EAC=\angle 1+\angle CAB$，$\angle FAB=\angle 2+\angle CAB$
$\therefore \angle 1=\angle 2$
A
$\left\{\begin{array}{l} AC=AB\\ AE=AF\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle AEC≌Rt\triangle AFB(HL)$
$\therefore \angle EAC=\angle FAB$
$\because \angle EAC=\angle 1+\angle CAB$，$\angle FAB=\angle 2+\angle CAB$
$\therefore \angle 1=\angle 2$
A
2. 在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A'B'C' $ 中,$ \angle C = \angle C' = 90° $. 有下列条件：① $ AC = B'C' = 3 $,$ BC = A'C' = 4 $；② $ AC = A'C' = 3 $,$ AB = A'B' = 4 $；③ $ AC = A'B' $,$ BC = B'C' $. 其中能判定两个三角形全等的有
①②
.(填正确答案的序号)答案
①②
3. 填空：结合图形,用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在 $ Rt \triangle ABC $ 和 $ Rt \triangle DEF $ 中,$ \angle C = \angle F = 90° $,$ AC = DF $,
AB=DE
,$ \therefore Rt \triangle ABC \cong Rt \triangle DEF $.答案
AB=DE
4. 如图,已知 $ \angle ACB = \angle ADB = 90° $,$ AC = AD $,若 $ \angle CBA = 65° $,则 $ \angle DBC = $
130°
.答案
130°
解析
在$Rt\triangle ACB$和$Rt\triangle ADB$中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AD\\ AB=AB\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle ACB≌Rt\triangle ADB(HL)$
$\therefore \angle CBA=\angle DBA=65^{\circ }$
$\therefore \angle DBC=\angle CBA+\angle DBA=65^{\circ }+65^{\circ }=130^{\circ }$
$130^{\circ }$
$\left\{\begin{array}{l} AC=AD\\ AB=AB\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle ACB≌Rt\triangle ADB(HL)$
$\therefore \angle CBA=\angle DBA=65^{\circ }$
$\therefore \angle DBC=\angle CBA+\angle DBA=65^{\circ }+65^{\circ }=130^{\circ }$
$130^{\circ }$
