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7. 如图，$CA$平分$\angle DCB$，$CB = CD$，$DA$的延长线交$BC$于点$E$。若$\angle EAC = 49^{\circ}$，则$\angle BAE$的度数为。
答案
82°
解析
∵CA平分∠DCB，∴∠DCA=∠BCA。
在△DCA和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l} CD=CB\\ ∠DCA=∠BCA\\ CA=CA\end{array}\right.$，
∴△DCA≌△BCA（SAS）。
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等）。
∵DA的延长线交BC于E，∴D、A、E共线，
∴∠DAC+∠EAC=180°（邻补角定义）。
∵∠EAC=49°，∴∠DAC=180°-49°=131°，
∴∠BAC=∠DAC=131°。
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=131°-49°=82°。
8. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DCB$中，$AC$与$BD$交于点$E$，且$\angle A = \angle D$，$AB = DC$。
(1)写出图中所有全等的三角形：；
(2)若$\angle AEB = 50^{\circ}$，则$\angle EBC$的度数为。
(1)写出图中所有全等的三角形：；
(2)若$\angle AEB = 50^{\circ}$，则$\angle EBC$的度数为。
答案
(1)△ABE≌△DCE，△AEC≌△DEB，△ABC≌△DCB；(2)25°
解析
(1)在△ABE和△DCE中，∠A=∠D，∠AEB=∠DEC（对顶角相等），AB=DC，由AAS得△ABE≌△DCE；由△ABE≌△DCE得AE=DE，BE=CE。在△AEC和△DEB中，AE=DE，∠AEC=∠DEB（对顶角相等），EC=EB，由SAS得△AEC≌△DEB；由AE=DE，BE=CE得AC=BD，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=BD，BC=CB，由SSS得△ABC≌△DCB。
(2)∵∠AEB=50°，∠AEB+∠BEC=180°，∴∠BEC=130°。由△ABE≌△DCE得BE=CE，∴△BEC为等腰三角形，∠EBC=（180°-130°）/2=25°。
(2)∵∠AEB=50°，∠AEB+∠BEC=180°，∴∠BEC=130°。由△ABE≌△DCE得BE=CE，∴△BEC为等腰三角形，∠EBC=（180°-130°）/2=25°。
9. (2024·苏州工业园区期末)如图，在四边形$ABCD$中，$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$，点$E$，$F$在边$BC$上，点$P$在四边形的内部，且$AE\perp PE$，$AE = PE$，$\angle CFD = \angle PFE$。若$BE = CD = 1$，$CF = 2$，$AB = 3$，则四边形$ABCD$的面积为。
答案
16
解析
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系。则B(0,0)，A(0,3)，E(1,0)。AE⊥PE，AE=PE，由AE斜率-3得PE斜率1/3，设P(p,q)，则q=(p-1)/3，由PE=AE=√10得(p-1)²+q²=10，解得p=4,q=1，即P(4,1)。设F(f,0)，C(f+2,0)，D(f+2,1)。∠CFD=∠PFE，tan∠CFD=CD/CF=1/2，tan∠PFE=PG/FG=1/|f-4|=1/2，得f=6（f=2舍）。故C(8,0)，BC=8。四边形ABCD为直角梯形，面积=(AB+CD)×BC/2=(3+1)×8/2=16。
10. 如图，$D$是四边形$AEBC$内一点，连接$AD$，$DB$，已知$CA = CB$，$DA = DB$，$EA = EB$。求证：$C$，$D$，$E$三点在一条直线上。
答案
1. 连接AB。
2. 在△CAD和△CBD中，
∵CA=CB，DA=DB，CD=CD，
∴△CAD≌△CBD（SSS）。
3. ∴∠ACD=∠BCD（全等三角形对应角相等）。
4. ∵CA=CB，∴△CAB是等腰三角形，
∴CD是△CAB底边AB上的高（等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合），即CD⊥AB。
5. 在△DAE和△DBE中，
∵DA=DB，EA=EB，DE=DE，
∴△DAE≌△DBE（SSS）。
6. ∴∠ADE=∠BDE（全等三角形对应角相等）。
7. ∵DA=DB，∴△DAB是等腰三角形，
∴DE是△DAB底边AB上的高（等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合），即DE⊥AB。
8. ∵CD⊥AB，DE⊥AB，且CD与DE交于点D，
∴C，D，E三点在一条直线上（过一点有且只有一条直线垂直于已知直线）。
2. 在△CAD和△CBD中，
∵CA=CB，DA=DB，CD=CD，
∴△CAD≌△CBD（SSS）。
3. ∴∠ACD=∠BCD（全等三角形对应角相等）。
4. ∵CA=CB，∴△CAB是等腰三角形，
∴CD是△CAB底边AB上的高（等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合），即CD⊥AB。
5. 在△DAE和△DBE中，
∵DA=DB，EA=EB，DE=DE，
∴△DAE≌△DBE（SSS）。
6. ∴∠ADE=∠BDE（全等三角形对应角相等）。
7. ∵DA=DB，∴△DAB是等腰三角形，
∴DE是△DAB底边AB上的高（等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合），即DE⊥AB。
8. ∵CD⊥AB，DE⊥AB，且CD与DE交于点D，
∴C，D，E三点在一条直线上（过一点有且只有一条直线垂直于已知直线）。
11. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，点$E$，$F$分别在$AD$，$BC$上，$AE = CF$，过点$A$，$C$分别作直线$EF$的垂线，垂足分别为$G$，$H$。
（1）求证：$\triangle AGE\cong\triangle CHF$。
（2）连接$AC$，线段$GH$与$AC$是否互相平分？请说明理由。
（1）求证：$\triangle AGE\cong\triangle CHF$。
（2）连接$AC$，线段$GH$与$AC$是否互相平分？请说明理由。
答案
（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠AGE=∠CHF=90°．
∵AD//BC，E在AD上，F在BC上，
∴AE//CF，
∴∠AEG=∠CFH（两直线平行，内错角相等）．
在△AGE和△CHF中，
$\begin{cases} ∠AGE=∠CHF \\ ∠AEG=∠CFH \\ AE=CF \end{cases}$，
∴△AGE≌△CHF（AAS）．
（2）线段GH与AC互相平分．理由如下：
∵△AGE≌△CHF，
∴AG=CH．
∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴AG//CH．
∴四边形AGCH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴AC与GH互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．
∴∠AGE=∠CHF=90°．
∵AD//BC，E在AD上，F在BC上，
∴AE//CF，
∴∠AEG=∠CFH（两直线平行，内错角相等）．
在△AGE和△CHF中，
$\begin{cases} ∠AGE=∠CHF \\ ∠AEG=∠CFH \\ AE=CF \end{cases}$，
∴△AGE≌△CHF（AAS）．
（2）线段GH与AC互相平分．理由如下：
∵△AGE≌△CHF，
∴AG=CH．
∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴AG//CH．
∴四边形AGCH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴AC与GH互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．
