13. 如图 7-39,在三角形 ABC 中,$DE// BC,∠EDF= ∠C.$
(1)求证:$∠BDF= ∠A;$
证明：$\because$ $DE// BC$，$\therefore$ $\angle C = ∠AED$。
$\because$ $\angle EDF = ∠C$，$\therefore$ $\angle AED = ∠EDF$。
$\therefore$ $DF// AC$。$\therefore$ $\angle BDF = ∠A$。
(2)若$∠A= 45^{\circ }$,DF 平分$∠BDE$,求$∠B$的度数.
解：$\because$ $\angle A = 45^{\circ}$，$\therefore$ $\angle BDF = 45^{\circ}$。
$\because$ $DF$ 平分 $\angle BDE$，
$\therefore$ $\angle BDE = 2\angle BDF = 90^{\circ}$。
$\because$ $DE// BC$，$\therefore$ $\angle B = $。

(1) $\because$ $DE// BC$，$\therefore$ $\angle C = \angle AED$。
$\because$ $\angle EDF = \angle C$，$\therefore$ $\angle AED = \angle EDF$。
$\therefore$ $DF// AC$。$\therefore$ $\angle BDF = \angle A$。
(2) $\because$ $\angle A = 45^{\circ}$，$\therefore$ $\angle BDF = 45^{\circ}$。
$\because$ $DF$ 平分 $\angle BDE$，
$\therefore$ $\angle BDE = 2\angle BDF = 90^{\circ}$。
$\because$ $DE// BC$，$\therefore$ $\angle B = 90^{\circ}$。

14. 已知$AB// CD$,点 E 在 AB 上,点 F在 DC 上,G 为射线 EF 上一点.
(1)【基础问题】如图 7-40①,求证:$∠AGD= ∠A+∠D.$
证明:过点 G 作直线$MN// AB.$
∵ $AB// CD$,
∴ ____$// CD$.
∵ $MN// AB$,
∴ ____$=∠AGM$.
∵ $MN// CD$,
∴ $∠D= $____(____).
∴ $∠AGD= ∠AGM+∠DGM= ∠A+$$∠D$.
(2)【类比探究】如图 7-40②,当点 G在线段 EF 的延长线上时,请写出$∠AGD,$$∠A,∠D$三者之间的数量关系,并说明理由.

(3)【应用拓展】如图 7-40③,AH 平分$∠GAE$,DH 交 AH 于点 H,且$∠GDH= $$2∠HDF,∠HDF= 22^{\circ },∠H= 32^{\circ }$,直接写出$∠DGA$的度数:____.

(1) $MN$ $\angle A$ $\angle DGM$ 两直线平行，内错角相等
(2) $\angle AGD = \angle A - \angle D$。理由如下：
如图所示，过点 $G$ 作直线 $MN// AB$。

$\because$ $AB// CD$，$\therefore$ $MN// CD$。
$\because$ $MN// AB$，$\therefore$ $\angle A = \angle AGM$。
$\because$ $MN// CD$，$\therefore$ $\angle D = \angle DGM$。
$\therefore$ $\angle AGD = \angle AGM - \angle DGM = \angle A - \angle D$。
(3) $42^{\circ}$ 提示：如图所示，过点 $G$ 作直线 $MN// AB$，过点 $H$ 作直线 $PQ// AB$。

$\because$ $AB// CD$，$\therefore$ $MN// CD$，$PQ// CD$。
$\because$ $MN// AB$，$PQ// AB$，
$\therefore$ $\angle BAG = \angle AGM$，$\angle BAH = \angle AHP$。
$\because$ $MN// CD$，$PQ// CD$，
$\therefore$ $\angle CDG = \angle DGM$，$\angle CDH = \angle DHP$。
$\because$ $\angle GDH = 2\angle HDF$，$\angle HDF = 22^{\circ}$，
$\therefore$ $\angle GDH = 44^{\circ}$，$\angle DHP = 22^{\circ}$。
$\therefore$ $\angle CDG = 66^{\circ}$。
$\because$ $\angle AHD = 32^{\circ}$，$\therefore$ $\angle AHP = 54^{\circ}$。
$\therefore$ $\angle DGM = 66^{\circ}$，$\angle BAH = 54^{\circ}$。
$\because$ $AH$ 平分 $\angle GAE$，
$\therefore$ $\angle BAG = 2\angle BAH = 108^{\circ}$。
$\therefore$ $\angle AGM = 108^{\circ}$。
$\therefore$ $\angle DGA = \angle AGM - \angle DGM = 42^{\circ}$。