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1. 填空。
(1) 12 个相同的圆锥形铁块最多可以被熔铸成(
(1) 12 个相同的圆锥形铁块最多可以被熔铸成(
4
)个与其等底等高的圆柱形铁块。答案
1. (1) 4
(2) 一个圆锥的体积是 $28.26m^{3}$，底面半径是 3 m，高是(
3
)m。答案
1. (2) 3
解析
圆锥体积公式：$V = \frac{1}{3}π r^2 h$
已知$V = 28.26m^3$，$r = 3m$，则$h = \frac{3V}{π r^2}$
代入数据：$h = \frac{3×28.26}{3.14×3^2} = \frac{84.78}{28.26} = 3$
3
已知$V = 28.26m^3$，$r = 3m$，则$h = \frac{3V}{π r^2}$
代入数据：$h = \frac{3×28.26}{3.14×3^2} = \frac{84.78}{28.26} = 3$
3
(3) 一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的 3 倍，若圆锥的体积是 $24dm^{3}$，则圆柱的体积是(
24
)$dm^{3}$。答案
1. (3) 24
解析
设圆柱的高为$h$，底面半径为$r$，则圆锥的高为$3h$，底面半径也为$r$。
圆柱体积公式：$V_{圆柱}=π r^{2}h$
圆锥体积公式：$V_{圆锥}=\frac{1}{3}π r^{2}(3h)=π r^{2}h$
所以$V_{圆柱}=V_{圆锥}=24dm^{3}$
24
圆柱体积公式：$V_{圆柱}=π r^{2}h$
圆锥体积公式：$V_{圆锥}=\frac{1}{3}π r^{2}(3h)=π r^{2}h$
所以$V_{圆柱}=V_{圆锥}=24dm^{3}$
24
(4) 如图，有一个直角三角形，分别绕它的两条直角边所在的直线旋转一周，可以形成两个圆锥，这两个圆锥的体积相差(
50.24
)立方厘米。答案
1. (4) 50.24
解析
当以4厘米直角边为轴旋转时，圆锥底面半径为6厘米，高为4厘米，体积为$\frac{1}{3}×3.14×6^{2}×4 = \frac{1}{3}×3.14×36×4 = 150.72$立方厘米；当以6厘米直角边为轴旋转时，圆锥底面半径为4厘米，高为6厘米，体积为$\frac{1}{3}×3.14×4^{2}×6 = \frac{1}{3}×3.14×16×6 = 100.48$立方厘米。两个圆锥体积相差$150.72 - 100.48 = 50.24$立方厘米。
50.24
50.24
2. 选择。
(1) 将一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.2 倍
(1) 将一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的(
D
)，削去部分的体积是圆柱体积的(C
)。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.2 倍
答案
2. (1) D C
(2) (苏州真题)以虚线为轴将图形旋转一周，下面右边四个图形旋转后形成的几何体与左边的图形旋转后形成的几何体体积相等的是(
B
)。答案
2. (2) B
解析
左边图形旋转后形成圆柱，体积为$V_左 = π × 4^2 × 3 = 48π$。
A图形旋转后形成圆柱，体积为$V_A = π × 3^2 × 4 = 36π$。
B图形旋转后形成圆锥，体积为$V_B = \frac{1}{3} π × 6^2 × 4 = 48π$。
C图形旋转后形成圆锥，体积为$V_C = \frac{1}{3} π × 8^2 × 3 = 64π$。
D图形旋转后形成圆锥，体积为$V_D = \frac{1}{3} π × 8^2 × 4 = \frac{256}{3}π$。
与左边图形体积相等的是B。
B
A图形旋转后形成圆柱，体积为$V_A = π × 3^2 × 4 = 36π$。
B图形旋转后形成圆锥，体积为$V_B = \frac{1}{3} π × 6^2 × 4 = 48π$。
C图形旋转后形成圆锥，体积为$V_C = \frac{1}{3} π × 8^2 × 3 = 64π$。
D图形旋转后形成圆锥，体积为$V_D = \frac{1}{3} π × 8^2 × 4 = \frac{256}{3}π$。
与左边图形体积相等的是B。
B
(3) 有一个圆柱和一个圆锥，它们的体积相等。若圆锥和圆柱的底面半径之比是 $3:1$，则圆锥和圆柱的高之比是(
A.$3:1$
B.$1:3$
C.$9:1$
D.$1:9$
B
)。A.$3:1$
B.$1:3$
C.$9:1$
D.$1:9$
答案
2. (3) B
解析
设圆锥底面半径为$3r$，圆柱底面半径为$r$，圆锥高为$h_1$，圆柱高为$h_2$。
圆锥体积$V_1 = \frac{1}{3}π(3r)^2h_1 = 3π r^2h_1$，圆柱体积$V_2 = π r^2h_2$。
由$V_1 = V_2$得$3π r^2h_1 = π r^2h_2$，化简得$3h_1 = h_2$，故$h_1:h_2 = 1:3$。
B
圆锥体积$V_1 = \frac{1}{3}π(3r)^2h_1 = 3π r^2h_1$，圆柱体积$V_2 = π r^2h_2$。
由$V_1 = V_2$得$3π r^2h_1 = π r^2h_2$，化简得$3h_1 = h_2$，故$h_1:h_2 = 1:3$。
B
3. 一个圆锥形纸筒冰淇淋的高是 10 厘米，底面周长是 18.84 厘米。如果每立方厘米重 0.45 克，那么这个冰淇淋大约重多少克？（结果保留整数）
答案
3. $ 18.84 ÷ 3.14 ÷ 2 = 3 $ (厘米)
$ \frac{1}{3} × 3.14 × 3^{2} × 10 = 94.2 $ (立方厘米)
$ 94.2 × 0.45 \approx 42 $ (克)
$ \frac{1}{3} × 3.14 × 3^{2} × 10 = 94.2 $ (立方厘米)
$ 94.2 × 0.45 \approx 42 $ (克)
4. (苏州真题)如图所示的陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥，且圆锥的高是圆柱高的 $\frac{3}{4}$。
(1) 已知圆柱的底面直径是 8 厘米，高是 8 厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？
(2) 如果要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒（粘合处忽略不计），至少需要多少平方厘米的硬纸板？
(1) 已知圆柱的底面直径是 8 厘米，高是 8 厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？
(2) 如果要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒（粘合处忽略不计），至少需要多少平方厘米的硬纸板？
答案
4. (1) $ 3.14 × (8 ÷ 2)^{2} × 8 + 3.14 × (8 ÷ 2)^{2} × (8 × \frac{3}{4}) × \frac{1}{3} = 502.4 $ (立方厘米)
(2) $ 8 + 8 × \frac{3}{4} = 14 $ (厘米)
$ 8 × 8 × 2 + 8 × 14 × 4 = 576 $ (平方厘米)
(2) $ 8 + 8 × \frac{3}{4} = 14 $ (厘米)
$ 8 × 8 × 2 + 8 × 14 × 4 = 576 $ (平方厘米)
5. (思维过程)一个圆柱和一个圆锥的底面积之比是 $1:2$，体积之比是 $5:4$。如果圆柱高 30 厘米，那么圆锥的高是多少厘米？如果圆锥高 30 厘米，那么圆柱的高是多少厘米？
答案
5. 圆柱的高：圆锥的高 $ = (5 ÷ 1) : (4 × 3 ÷ 2) = 5 : 6 $
圆锥的高：$ 30 ÷ 5 × 6 = 36 $ (厘米)
圆柱的高：$ 30 ÷ 6 × 5 = 25 $ (厘米)
解析：可以先根据底面积和体积的比求出圆柱和圆锥高的比，再解答问题。圆柱的高：圆锥的高 $ = (5 ÷ 1) : (4 × 3 ÷ 2) = 5 : 6 $，所以当圆柱高 30 厘米时，圆锥的高为 $ 30 ÷ 5 × 6 = 36 $ (厘米)；当圆锥高 30 厘米时，圆柱的高为 $ 30 ÷ 6 × 5 = 25 $ (厘米)。
圆锥的高：$ 30 ÷ 5 × 6 = 36 $ (厘米)
圆柱的高：$ 30 ÷ 6 × 5 = 25 $ (厘米)
解析：可以先根据底面积和体积的比求出圆柱和圆锥高的比，再解答问题。圆柱的高：圆锥的高 $ = (5 ÷ 1) : (4 × 3 ÷ 2) = 5 : 6 $，所以当圆柱高 30 厘米时，圆锥的高为 $ 30 ÷ 5 × 6 = 36 $ (厘米)；当圆锥高 30 厘米时，圆柱的高为 $ 30 ÷ 6 × 5 = 25 $ (厘米)。
