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知识点 一元一次不等式
不等式的左右两边都是
不等式的左右两边都是
整式
，只含有一个
未知数，并且未知数的次数都是1
，像这样的不等式，叫作一元一次不等式。答案
知识点 整式 一个 1
解析
整式 一个 1
例 1 解不等式：$\frac{5x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2} ＞ 1$。
答案
【点拨】解一元一次不等式的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
【解】去分母，得
。
去括号，得 。
移项，得 。
合并同类项，得 。
两边都除以 7，得 。
所以原不等式的解集是 。
【解】去分母，得
。
去括号，得 。
移项，得 。
合并同类项，得 。
两边都除以 7，得 。
所以原不等式的解集是 。
【变式训练 1】已知关于 $x$ 的不等式$(x - 5)(ax - 3a + 4) ≤ 0$，若 $x = 2$ 是该不等式的解，求 $a$ 的取值范围。
答案
变式训练 1 $ a ≤ 4 $
解析
因为$x = 2$是不等式$(x - 5)(ax - 3a + 4) ≤ 0$的解，所以将$x = 2$代入不等式得：$(2 - 5)(2a - 3a + 4) ≤ 0$，即$(-3)(-a + 4) ≤ 0$，化简得$3(a - 4) ≤ 0$，解得$a ≤ 4$。
$a ≤ 4$
$a ≤ 4$
例 2 已知关于 $x$ 的方程$\frac{3x + a}{4} - \frac{x - 2}{3} = a$的解是非负数，求 $a$ 的最小整数解。
答案
【点拨】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的解法，关键是正确求出一元一次方程的解。
【解】因为$\frac{3x + a}{4} - \frac{x - 2}{3} = a$，
所以 $x = \frac{9a - 8}{5}$。
因为关于 $x$ 的方程$\frac{3x + a}{4} - \frac{x - 2}{3} = a$的解是非负数，
所以 $x = \frac{9a - 8}{5} ≥ 0$。
解得 $a ≥ \frac{8}{9}$。
所以 $a$ 的最小整数解为 1。
【解】因为$\frac{3x + a}{4} - \frac{x - 2}{3} = a$，
所以 $x = \frac{9a - 8}{5}$。
因为关于 $x$ 的方程$\frac{3x + a}{4} - \frac{x - 2}{3} = a$的解是非负数，
所以 $x = \frac{9a - 8}{5} ≥ 0$。
解得 $a ≥ \frac{8}{9}$。
所以 $a$ 的最小整数解为 1。
【变式训练 2】对于实数 $m$，$n$，定义一种运算“※”：$m※n = mn + n$。已知 $2※x ＜ 81$，求 $x$ 的最大正整数解。
答案
变式训练 2 26
解析
根据定义，$m※n = mn + n$，则$2※x = 2x + x = 3x$。
已知$2※x ＜ 81$，即$3x ＜ 81$，解得$x ＜ 27$。
所以$x$的最大正整数解为$26$。
26
已知$2※x ＜ 81$，即$3x ＜ 81$，解得$x ＜ 27$。
所以$x$的最大正整数解为$26$。
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